Définitions
Définition
Ensemble
Un ensemble est une collection de objets, sans ordre et sans répétition, ces objets sont appelés « éléments ».
Cardinal d'un ensemble
Le cardinal d'un ensemble est défini comme étant le nombre d'éléments de cet ensemble.
Factorielle
Pour tout entier naturel n, n! (factorielle de n) est le produit des entiers de 1 à n.
Arrangement
Un arrangement est une permutation de p éléments choisis parmi un ensemble de n éléments.
Combinaison
Une combinaison représente une sélection de p éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre.
Les principes de base du dénombrement
Le dénombrement est l'art de compter de manière systématique le nombre de manières différentes de réaliser une tâche. En combinatoire, cela implique de déterminer le nombre d'arrangements ou de combinaisons possibles d'un ensemble d'éléments suivant certaines règles.
Les opérations de base de la combinatoire
Addition
La règle de l'addition stipule que si une tâche peut être effectuée de n façons et qu'une autre tâche mutuellement exclusive peut être réalisée de m façons, alors il y a n + m façons de réaliser l'une ou l'autre des deux tâches.
Multiplication
La règle de la multiplication indique que si une tâche peut être divisée en une séquence de deux tâches, avec n façons de réaliser la première tâche et m façons de réaliser la deuxième tâche pour chaque réalisation de la première, alors il y a n * m façons de réaliser la tâche complète.
Permutations et arrangements
Formule des permutations
Pour un ensemble de n éléments, il y a n! (n factorielle) permutations possibles de l'ensemble. Cela se traduit par le produit des n premiers entiers naturels.Toutefois, si l'on veut sélectionner p éléments et arranger ceux-ci, on utilise la formule des arrangements de n éléments pris p à p : A(n, p) = n! / (n-p)!
Combinaisons et coefficients binomiaux
Formule des combinaisons
La combinaison de n éléments pris p à p est représentée par C(n, p) et est calculée par : C(n, p) = n! / (p!(n-p)!). Elle correspond au nombre de groupes que l'on peut former en choisissant p éléments parmi n, indépendamment de leur ordre.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est un outil utile pour calculer les coefficients binomiaux. Chaque ligne correspond aux coefficients binomiaux d'un développement de la forme (a + b)^n pour n croissant.
Applications classiques du dénombrement
Problèmes de partage et de répartition
On utilise le dénombrement pour résoudre des problèmes où il s'agit de partager des objets entre différents groupes ou compartiments. Par exemple, le nombre de façons de distribuer k objets identiques entre n enfants est une application typique du calcul des combinaisons.
Problèmes de tirage au sort
Les méthodes combinatoires permettent également de résoudre des problèmes de tirages où il faut déterminer le nombre de façons de tirer des objets au hasard d'un ensemble. Cela inclut le tirage sans remise, où chaque objet ne peut être tiré qu'une seule fois, et le tirage avec remise, où chaque objet peut être tiré à plusieurs reprises.
A retenir :
Ce cours présente les concepts essentiels du dénombrement et de la combinatoire, des bases de l'addition et de la multiplication aux arrangements, permutations et combinaisons. La compréhension des permutations permet de compter les arrangements distincts d'objets, tandis que les combinaisons servent à déterminer le nombre de sélections possibles d'un groupe d'éléments. Les techniques du triangle de Pascal et des coefficients binomiaux fournissent des outils supplémentaires précieux pour résoudre les problèmes combinatoires. Ces concepts sont appliqués à des problèmes de partage, de répartition et de tirage au sort, réaffirmant l'importance de la combinatoire dans l'analyse et la résolution de problèmes.
