Définition
Discriminant
Le discriminant, souvent noté Δ, est une quantité utilisée dans les mathématiques, en particulier pour résoudre des équations quadratiques. Il est déterminé par l'expression b^2 - 4ac dans l'équation ax^2 + bx + c = 0.
Équation quadratique
Une équation quadratique est une équation polynomiale de degré 2, qui s'écrit sous la forme ax^2 + bx + c = 0 où a, b et c sont des coefficients, et a ≠ 0.
Calcul du Discriminant
Pour calculer le discriminant d'une équation quadratique ax^2 + bx + c = 0, on utilise la formule: Δ = b^2 - 4ac. Le discriminant est un outil important car il permet de déterminer la nature des solutions de l'équation quadratique.
Interprétation du Discriminant
Δ > 0
Lorsque le discriminant Δ est positif, l'équation quadratique a deux solutions réelles et distinctes. Ces solutions peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique: x = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a).
Δ = 0
Si le discriminant Δ est égal à zéro, l'équation quadratique possède une solution réelle unique, également appelée solution double. Cette solution est x = -b / (2a).
Δ < 0
Dans le cas où le discriminant Δ est négatif, l'équation quadratique n'a pas de solutions réelles. Les solutions sont des nombres complexes conjugués, qui peuvent être exprimées sous la forme z = -b / (2a) ± i * sqrt(-Δ) / (2a), où i est l'unité imaginaire.
Applications pratiques
Dans les problèmes pratiques, les équations quadratiques apparaissent souvent dans des contextes tels que l'optimisation, les trajectoires dans le plan cartésien et d'autres applications scientifiques. Le discriminant joue un rôle clé en permettant de prévoir la nature des solutions sans les calculer directement.
A retenir :
Le discriminant, noté Δ, est une valeur déterminante dans l'analyse des équations quadratiques. C'est un outil puissant pour prédire la nature des solutions : deux réelles et distinctes si Δ > 0, une réelle double si Δ = 0, et complexes si Δ < 0. Connaître et comprendre le discriminant est essentiel pour résoudre avec efficacité et précision des problèmes impliquant des équations du second degré.
