1. La fréquence : grandeur physique de la hauteur d’une note 

La hauteur d’une note musicale est déterminée par sa fréquence, mesurée en Hertz (Hz). Plus la fréquence est élevée, plus la note est aiguë. Chaque note est donc un son caractérisé par une fréquence spécifique. 

2. Note, intervalle, octave et gamme 

• Une note est un son déterminé par une fréquence donnée. 
• Un intervalle est le rapport entre deux fréquences. Certains rapports (comme 2/1 ou 3/2) sont considérés comme plus consonants, c’est-à-dire agréables à l’oreille. 
• Une octave est l’intervalle entre deux notes dont l’une a une fréquence double de l’autre (rapport 2/1). Par exemple, le La4 (880 Hz) est l’octave du La3 (440 Hz). 
• Une gamme est un ensemble structuré de notes comprises dans une octave. Elle permet de jouer des mélodies harmonieuses grâce à des successions d’intervalles “agréables”. 

II. La gamme de Pythagore : origines et construction 

1. Contexte historique et principes 

La gamme de Pythagore, utilisée dans la Grèce antique, repose sur l’étude des sons émis par une corde tendue. Pythagore a constaté que les sons obtenus par des rapports simples entre longueurs de cordes (donc entre fréquences) produisent des effets agréables. 

Les intervalles utilisés étaient principalement : 

• La quinte (rapport 3/2) 
• L’octave (rapport 2/1) 

Pythagore a construit sa gamme en empilant des quintes successives (multiplication par 3/2), puis en les ramenant dans l’octave de référence (division par des puissances de 2 pour rester entre deux fréquences doublées). 

2. Limites de la gamme pythagoricienne 

• Impossibilité de fermeture du cycle des quintes : en empilant 12 quintes (3/2)^12 et en les comparant à 7 octaves (2^7), on obtient un écart appelé "comma pythagoricien". En effet : 

(3/2)^12 ≈ 129.75 ≠ 128 = 2^7 

Cette petite différence rend la transposition (changement de tonalité) impossible sans désaccord. Cela donne naissance à un phénomène désagréable nommé la quinte du loup, qui sonne faux. 

• Non-uniformité des intervalles : les tons et demi-tons ne sont pas égaux, ce qui rend certaines modulations musicales difficiles voire impossibles. 

III. La gamme tempérée : naissance et avantages 

1. Historique et principes 

Au XVIIe siècle, pour pallier les défauts des gammes naturelles, le mathématicien Andreas Werckmeister met au point une nouvelle gamme : la gamme tempérée, perfectionnée et popularisée par Jean-Sébastien Bach grâce à ses « 24 préludes et fugues » dans Le Clavier bien tempéré. 

2. Construction mathématique 

La gamme tempérée divise l’octave en 12 demi-tons égaux. Chaque demi-ton correspond à une multiplication de la fréquence par la racine douzième de 2 : 

f(n) = f₀ × 2^(n/12) 

Ainsi, tous les intervalles sont égaux, et la quinte tempérée a un rapport légèrement différent de 3/2, mais suffisamment proche pour être considéré consonant (écart ≈ 0,1 %). 

3. Avantages 

• Modulation possible dans toutes les tonalités. 
• Uniformité des tons et demi-tons. 
• Meilleure harmonie globale dans les œuvres complexes. 

4. Inconvénients 

• Les rapports de fréquence ne sont plus parfaitement simples (comme 3/2 ou 5/4), ce qui rend certaines consonances légèrement imparfaites par rapport aux gammes naturelles. 

IV. Comparaison entre les deux gammes 

Aspect 

Gamme de Pythagore 

Gamme Tempérée 

Principe 

Quintes pures (3/2) 

Division égale de l’octave 

Consonance 

Parfaite pour certaines notes 

Très bonne mais légèrement imparfaite 

Transposition 

Difficile 

Facile 

Utilisation actuelle 

Obsolète 

Universellement utilisée 

Inventeur 

Pythagore (Antiquité) 

Werckmeister / JS Bach (XVIIe) 

V. Notions importantes à retenir 

• Consonance : rapport de fréquences jugé harmonieux (ex : 3/2). 
• Dissonance : rapport jugé désagréable. 
• Quinte : intervalle de rapport 3/2. 
• Quinte du loup : intervalle dissonant causé par l’imperfection de la gamme pythagoricienne. 
• Transposition : changement de tonalité d’une œuvre musicale. 
• Harmonie : impression auditive agréable créée par les accords ou enchaînements de notes. 

Conclusion 

L’histoire des gammes musicales illustre le lien entre science, perception et art. La recherche de la consonance parfaite a guidé l’évolution des gammes, de Pythagore à Bach. Aujourd’hui, la gamme tempérée s’impose comme compromis entre précision mathématique et praticité musicale, permettant à la musique occidentale de se développer dans toutes les tonalités avec cohérence et harmonie. 

• Do (C4) : 261,63 Hz C5 est le double de C4 
• Ré (D4) : 293,66 Hz 
• Mi (E4) : 329,63 Hz 
• Fa (F4) : 349,23 Hz 
• Sol (G4) : 392,00 Hz 
• La (A4) : 440,00 Hz 
• Si (B4) : 493,88 Hz 
• Do (C5) : 523,25 Hz 

Construire une gamme pythagoricienne note de base x1.5 si elle reste dans l octave alors garder si plus diviser par 2 puis rep x1.5 diviser par 2 si en dehors de l'octave et ainsi de suite