Définition
Dérivation
Processus mathématique permettant de calculer la dérivée d'une fonction. C'est un outil essentiel pour étudier les variations d'une fonction.
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point. Elle mesure la pente de la courbe en cet endroit.
Limite
La valeur que tend à approcher une fonction ou une suite quand les variables indépendantes atteignent des certains valeurs.
Définition formelle de la dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x un point de cet intervalle. La dérivée de f en x, notée f'(x), est définie par : f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h. Cette expression représente le taux d'accroissement moyen de la fonction f entre x et x+h lorsque h tend vers 0.
Interprétation géométrique de la dérivée
La tangente à la courbe de f en x a pour coefficient directeur f'(x). Si f'(x) > 0, f est croissante au voisinage de x. Si f'(x) < 0, f est décroissante. Si f'(x) = 0, la tangente est horizontale en x.
Dérivées des fonctions usuelles
Voici quelques formules fondamentales :
- Pour une constante k, f'(x) = 0.
- Pour x^n, f'(x) = n*x^(n-1).
- Pour 1/x, f'(x) = -1/x².
- Pour √x, f'(x) = 1/(2√x).
- Pour e^x, f'(x) = e^x.
- Pour ln(x), f'(x) = 1/x.
- Pour sin(x), f'(x) = cos(x).
- Pour cos(x), f'(x) = -sin(x).
Opérations sur les dérivées
Différentes règles s'appliquent dans le calcul des dérivées :
- Linéarité : (af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x)
- Produit : (u*v)' = u'v + uv'
- Quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v² avec v ≠ 0
- Fonction composée : (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Applications de la dérivation
La dérivation est utilisée pour analyser les fonctions, déterminer leurs variations, et identifier les extremums (maximums ou minimums). Elle est également utilisée en physique pour étudier les mouvements, les vitesses et les accélérations, ainsi qu'en optimisation pour résoudre des problèmes pratiques.
Exemple pratique
Considérons la fonction f(x) = x² - 3x + 2.
f'(x) = 2x - 3. Pour savoir où la fonction est croissante, résolvons f'(x) > 0 : 2x - 3 > 0, soit x > 3/2. Pour une décroissance, f'(x) < 0 : 2x - 3 < 0, soit x < 3/2.
A retenir :
La dérivation, par sa capacité à déterminer les variations et les caractéristiques des fonctions, constitue un des piliers de l'analyse mathématique au lycée. Elle offre des outils puissants pour comprendre et modéliser les comportements des phénomènes à travers les différents champs de l'étude scientifique, notamment en physique et en optimisation. Maîtriser ces concepts prépare également à des études plus avancées telles que les intégrales ou les équations différentielles.
