Définition
Cosinus
Le cosinus est une fonction trigonométrique d'un angle, qui est le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle à la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
Fonction trigonométrique
Une fonction trigonométrique est une fonction d'un angle utilisée en trigonométrie. Il y a six fonctions trigonométriques de base : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante.
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle comportant un angle droit (90 degrés). Les côtés de ce triangle sont appelés l'hypoténuse, le côté adjacent, et le côté opposé.
Calcul du cosinus d'un angle
Pour calculer le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, il suffit de diviser la longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse. La formule est : \( \cos(\theta) = \frac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l'hypoténuse}} \). Ce rapport est constant pour un angle donné, quel que soit le triangle rectangle choisi.
Propriétés du cosinus
Le cosinus d'un angle présente plusieurs propriétés intéressantes. Tout d'abord, il est pair, ce qui signifie que \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \). De plus, pour des angles dans le premier et le deuxième quadrants, le cosinus est positif, tandis qu'il est négatif dans les troisième et quatrième quadrants.
Cosinus et cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un plan cartésien, qui permet de visualiser les fonctions trigonométriques. Sur ce cercle, le cosinus d'un angle est la coordonnée x du point d'intersection du côté de l'angle avec le cercle. Cela signifie que le cosinus sert à projeter un point du cercle sur l'axe des abscisses.
Cosinus et équations trigonométriques
Les équations impliquant le cosinus peuvent souvent être résolues en utilisant des identités trigonométriques ou en transformant l'équation pour utiliser une formule de cosinus. Par exemple, en utilisant l'identité \( \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \), il est possible de trouver des solutions pour \( \cos(\theta) \) et donc pour l'angle \( \theta \).
Utilisation en mathématiques et en physique
Le cosinus est largement utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes de trigonométrie et des équations différentielles. En physique, il est souvent utilisé pour décomposer les vecteurs en composantes, analyser les mouvements oscillatoires ou étudier les ondes.
A retenir :
Le cosinus est une fonction trigonométrique essentielle qui détermine le rapport entre le côté adjacent et l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Il est clé dans le cercle trigonométrique, résout des équations trigonométriques et trouve de nombreuses applications en mathématiques et en physique. Les propriétés du cosinus, telles que sa parité et sa continuité, enrichissent son utilisation analytique.
