La continuité et la dérivabilité sont des concepts essentiels en mathématiques, particulièrement en analyse. Ils permettent d'étudier le comportement des fonctions et de décrire leur variation sur un intervalle donné.

Une fonction est dite continue sur un intervalle si elle ne présente pas de sauts ou de discontinuités. Formellement, une fonction f est continue en un point x0 si et seulement si les limites à gauche et à droite de f en x0 existent et sont égales à f(x0).

La continuité d'une fonction est importante car elle garantit l'absence de discontinuité abrupte dans le graphe de la fonction. Cela permet d'étudier les propriétés globales de la fonction et d'effectuer des calculs plus aisément.

La dérivabilité d'une fonction est une généralisation de la notion de pente ou de tangente à une courbe. Elle permet de mesurer la variation instantanée de la fonction en un point donné.

La dérivée d'une fonction en un point représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Elle permet de décrire la variation locale de la fonction et d'identifier les extremums et les points d'inflexion.

La dérivabilité d'une fonction implique la continuité de cette fonction en tout point où elle est dérivable. En général, si une fonction est dérivable en un point, elle est également continue en ce point. Cependant, une fonction peut être continue sans être dérivable.

Il existe des fonctions qui sont continues mais non dérivables, comme la fonction valeur absolue ou la fonction de Dirichlet. Ces fonctions présentent des points anguleux ou des oscillations brutales qui empêchent la dérivabilité.