Définition
Fonction continue
Une fonction f est dite continue sur un intervalle I de son domaine de définition si, pour tout x appartenant à I, la limite de f(x) lorsque x tend vers une valeur a de I est égale à f(a).
Intervalle
Un intervalle est une partie de la droite réelle. Il peut être fermé, ouvert ou semi-ouvert. Par exemple, [a, b] est un intervalle fermé allant de a à b.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction est continue sur un intervalle [a, b] et que f(a) et f(b) prennent des valeurs différentes, alors pour toute valeur k comprise entre f(a) et f(b), il existe au moins une valeur c dans [a, b] telle que f(c) = k.
Continuité des fonctions
La notion de continuité est intuitive : une fonction continue est une fonction dont le graphe peut être tracé sans lever le crayon. Mathématiquement, une fonction f est continue en un point a si et seulement si elle est définie en a et si la limite de f en ce point a est égale à f(a). Quand on dit qu'une fonction est continue sur un intervalle, cela signifie qu'elle est continue en chaque point de cet intervalle.
Les fonctions usuelles comme les polynômes, les exponentielles, les cosinus et sinus sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. Cela signifie que ces fonctions respectent la définition mathématique de la continuité.
Propriétés des fonctions continues
Une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] est bornée sur cet intervalle, c'est-à-dire qu'il existe des nombres réels m et M tels que pour tout x appartenant à [a, b], m ≤ f(x) ≤ M. De plus, une fonction continue sur un intervalle fermé atteint ses bornes, ce qui signifie qu'il existe des points c et d tels que f(c) = m et f(d) = M.
Cette propriété est essentielle, car elle garantit que les fonctions continues ne 'sautent pas' de valeurs, et cela nous conduit directement à la compréhension du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires est un résultat fondamental de l'analyse, qui découle directement de la continuité d'une fonction. Il indique que si une fonction f est continue sur un intervalle [a, b], alors pour toute valeur k comprise entre f(a) et f(b), il existe un point c dans [a, b] tel que f(c) = k.
Ce théorème a de nombreuses applications, notamment dans la justification de l'existence de solutions pour certaines équations. Par exemple, si on sait qu'une fonction continue prend des valeurs de signes opposés à deux extrémités d'un intervalle, on peut affirmer, grâce au théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe au moins une solution, c'est-à-dire un zéro de la fonction, dans cet intervalle.
Applications et exemples
Prenons l'exemple de la fonction f(x) = x² - 4 sur l'intervalle [1, 3]. Calculons f(1) = 1² - 4 = -3 et f(3) = 3² - 4 = 5. Comme f est continue sur [1, 3], le théorème des valeurs intermédiaires nous assure qu'il existe un point dans [1, 3] où f(x) = 0. En effet, x² - 4 = 0 donne x = 2, qui est bien dans l'intervalle [1, 3].
Ce théorème est très utile dans les problèmes d'analyse, de physique et même d'économie, où l'on doit prouver l'existence de certains points ou solutions sans nécessairement les calculer directement.
A retenir :
Pour bien comprendre la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires, il est important de reconnaître qu'une fonction continue ne 'saute' pas de valeur. Ce théorème fondamental nous permet de démontrer l'existence de solutions intermédiaires sur un intervalle si la fonction y est continue. Cela est particulièrement précieux dans les situations où nous avons besoin d'assurer l'existence de solutions sans les calculer directement. Les fonctions continues sur des intervalles fermés atteignent leurs valeurs extrêmes et respectent le théorème des valeurs intermédiaires. Ce sont des concepts clés à comprendre pour aborder des problèmes plus complexes en mathématiques et dans d'autres disciplines.
