Congruences
Les congruences sont un concept fondamental en mathématiques, utilisé en particulier en théorie des nombres et en algèbre. Elles permettent d'établir des relations entre les nombres, tout en se concentrant sur leurs différences plutôt que sur leurs valeurs absolues.
Définition
Définition
Soient a, b et n des entiers. On dit que a est congru à b modulo n si n divise la différence a - b, c'est-à-dire si a - b est un multiple de n. On note cela comme suit : a ≡ b (mod n).
La notation a ≡ b (n) signifie que a et b laissent le même reste lorsqu'ils sont divisés par n. Par exemple, si on prend a = 15, b = 6 et n = 3, alors 15 ≡ 6 (mod 3) car 15 - 6 = 9 est un multiple de 3.
Exemple:
a = 15, b = 6 et n = 3, alors 15 ≡ 6 (3) car 15 - 6 = 9 est un multiple de 3.
Définition
Définition
Une congruence est une équation modulo n, où n est un entier positif donné. Les solutions d'une congruence sont les valeurs de l'inconnue qui satisfont l'équation modulo n.
Exemple:
Pour la congruence x ≡ 2 (5), les solutions sont les nombres entiers qui laissent un reste de 2 lorsqu'ils sont divisés par 5. Ces solutions sont x = 2, x = 7, x = 12, x = 17, etc.
A retenir :
Les congruences possèdent plusieurs propriétés intéressantes :
- La congruence est une relation d'équivalence, ce qui signifie qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.
- Si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n), alors a + c ≡ b + d (mod n) et ac ≡ bd (mod n).
- Si a ≡ b (mod n), alors a^k ≡ b^k (mod n) pour tout entier k.
A retenir :
- La congruence est une relation d'équivalence, ce qui signifie qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.
- Si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n), alors a + c ≡ b + d (mod n) et ac ≡ bd (mod n).
- Si a ≡ b (mod n), alors a^k ≡ b^k (mod n) pour tout entier k.
