Définitions
Définition
Divisibilité
Un entier a est divisible par un entier b non nul si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Diviseur
Un diviseur de a est un entier b tel que a est divisible par b.
Multiple
Un multiple de a est un produit de a par un entier.
Nombre premier
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'a pour seuls diviseurs que 1 et lui-même.
Comprendre la divisibilité
La divisibilité est un concept fondamental en mathématiques qui traite de la manière dont les nombres s'insèrent les uns dans les autres. Quand on dit qu'un nombre a est divisible par un nombre b, cela signifie qu'il existe un entier c tel que a = b × c. Par exemple, 15 est divisible par 3 car 15 = 3 × 5. Cette notion est essentielle pour établir des relations entre nombres et pour mener des calculs avec des fractions, des facteurs et bien d'autres concepts mathématiques.
Reconnaitre un multiple et un diviseur
Pour reconnaitre un multiple, il faut savoir si un nombre est le résultat de la multiplication d'un autre nombre par un entier. Par exemple, 20 est un multiple de 5, car 5 × 4 = 20. De même, 15, 25, 30 sont aussi des multiples de 5. En revanche, un diviseur est un nombre qui divise un autre nombre sans laisser de reste. Par exemple, 4 est un diviseur de 20 car 20 ÷ 4 = 5, un entier. Pour établir ces reconnaissances en pratique, il existe des méthodes, comme l'utilisation de la division euclidienne pour tester la divisibilité.
Les nombres premiers
Les nombres premiers jouent un rôle crucial dans la théorie des nombres et les mathématiques en général. Ils sont définis comme des entiers supérieurs à 1, n'ayant pour seuls diviseurs que 1 et eux-mêmes. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas être décomposés en un produit de deux entiers plus petits. Par exemple, 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers. Ils sont les 'briques de base' de tous les autres nombres, car tout entier positif supérieur à 1 peut être exprimé comme un produit de nombres premiers, une décomposition qui est unique, sauf pour l'ordre des facteurs. Ce phénomène est connu sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétique.
A retenir :
La compréhension de la divisibilité, des multiples, des diviseurs, et des nombres premiers est essentielle pour l'étude des mathématiques. La divisibilité permet de savoir comment un nombre se divise en une somme de parties égales ou multiples d'un autre. Les diviseurs révèlent les facteurs composant un nombre, tandis que les multiples montrent les résultats possibles de sa multiplication. Les nombres premiers, fondamentaux dans la construction des entiers, ne peuvent être produits que par la multiplication de 1 et d'eux-mêmes, formant ainsi la base de la factorisation.
