Définition
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point, représentant le taux de variation instantané de la fonction.
Fonction dérivée
La fonction dérivée d'une fonction \( f \) est la fonction \( f' \) qui associe à chaque nombre \( x \) la dérivée de \( f \) en \( x \).
Tangente
Une droite est dite tangente à une courbe en un point si elle passe par ce point et a la même pente que la courbe en ce point.
Calcul de la dérivée
Pour déterminer la dérivée d'une fonction \( f(x) \), on utilise des règles de dérivation. Les fonctions de base et leurs dérivées usuelles sont souvent à mémoriser. Par exemple, pour \( f(x) = x^n \), la dérivée est \( f'(x) = nx^{n-1} \). Ainsi, la fonction dérivée permet de connaître la vitesse à laquelle une fonction change pour chaque valeur de \( x \).
La dérivée d'une constante est toujours zéro. Pour une somme de fonctions, la dérivée de l'ensemble est la somme des dérivées individuelles. Par exemple : si \( h(x) = f(x) + g(x) \), alors \( h'(x) = f'(x) + g'(x) \).
Règles de dérivation
Les règles de dérivation courantes incluent les règles de la constante, de la puissance, du produit, du quotient et de la chaîne.
1) La dérivée de \( c \) est zéro, où \( c \) est une constante.
2) La règle de la puissance : \( d(x^n)/dx = nx^{n-1} \).
3) La règle du produit : (\( f(x)g(x) \))' = \( f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \).
4) La règle du quotient : (\( \frac{f(x)}{g(x)} \))' = \( \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \).
5) La règle de la chaîne (composition de fonctions) : si \( y = f(u) \) et \( u = g(x) \), alors \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \).
Applications de la dérivation
La dérivation permet d'analyser le comportement des fonctions. Elle est utilisée pour trouver des points critiques où la fonction présente un maximum, un minimum ou un point d'inflexion, qui sont essentiels pour comprendre le comportement graphique de la fonction.
Dans le contexte des mouvements physiques, la vitesse instantanée et l'accélération sont des exemples d'applications de la dérivation. La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, et l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
Analyse de fonctions à l'aide de la dérivée
L'analyse des fonctions à l'aide des dérivées permet de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction. En examinant le signe de la dérivée sur différents intervalles, on peut conclure si une fonction est croissante (dérivée positive) ou décroissante (dérivée négative).
À l'aide de la dérivée seconde (dérivée de la dérivée), on analyse la concavité de la fonction. Une dérivée seconde positive indique une courbure vers le haut (concave), et une dérivée seconde négative indique une courbure vers le bas (convexe).
A retenir :
La dérivation est une notion fondamentale qui permet de comprendre et d'analyser le changement d'une fonction mathématique, notamment en déterminant les taux de variation et les comportements locaux des courbes de fonctions. Elle est utilisée pour optimiser et évaluer des situations tant mathématiques que...
