Définitions
Définition
Système de coordonnées cartésiennes
Un système de coordonnées cartésiennes est un système pour définir des emplacements dans un espace en utilisant des coordonnées. Dans un espace à deux dimensions, il utilise deux axes perpendiculaires, généralement appelés l'axe x et l'axe y.
Vecteur
Un vecteur est une quantité mathématique ayant à la fois une magnitude (ou longueur) et une direction. Il est souvent représenté par une flèche dans le plan ou l'espace.
Norme
La norme d'un vecteur est la longueur du vecteur. Dans un plan à deux dimensions, si le vecteur est donné par ses composantes (x, y), alors sa norme est \(\sqrt{x^2 + y^2}\).
Représentation dans le plan
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, chaque point est identifié par ses coordonnées \((x, y)\). Les deux axes de ce repère sont généralement perpendiculaires et se rencontrent en un point appelé origine, de coordonnées \((0, 0)\). Le point \((x, y)\) peut être représenté comme un vecteur \(\vec{OP}\), où O est l'origine et P le point ayant les coordonnées \((x, y)\).
Outils de transformation
Les transformations géométriques permettent de modifier la position des points dans un plan tout en gardant certaines propriétés. Quelques transformations importantes incluent :
Translations
Une translation consiste à déplacer tous les points d'une figure ou d'un ensemble d'un même vecteur donné. Par exemple, si le vecteur de translation est \(\vec{v} = (a, b)\), alors un point \((x, y)\) sera déplacé vers \((x + a, y + b)\).
Rotations
Une rotation autour d'un point donné (appelé centre de rotation, souvent l'origine) fait pivoter les points d'un certain angle \(\theta\). Les nouvelles coordonnées \((x', y')\) d'un point \((x, y)\) après une rotation d'angle \(\theta\) sont données par \((x' = x \cos \theta - y \sin \theta, y' = x \sin \theta + y \cos \theta)\).
Symétries
Les symétries peuvent être axiales ou centrales. Une symétrie axiale est une réflexion de l'autre côté d'une ligne appelée axe de symétrie, tandis qu'une symétrie centrale est une réflexion par rapport à un point, appelant centre de symétrie.
Applications des transformations géométriques
Les transformations géométriques ont de nombreuses applications, y compris dans le graphisme informatique, la modélisation 3D et même dans les systèmes de navigation GPS. Comprendre ces transformations permet de manipuler efficacement les figures et d'apprécier l'usage des coordonnées dans l'analyse géométrique.
A retenir :
La compréhension des systèmes de coordonnées cartésiennes est fondamentale pour aborder la géométrie repérée. Les vecteurs jouent un rôle clé dans la description des positions et des transformations dans le plan. Les transformations fondamentales — translations, rotations, symétries — permettent de manipuler les figures tout en conservant certaines de leurs propriétés essentielles, et elles trouvent des applications pratiques dans de nombreux domaines modernes.
