Définition
Cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un plan cartésien (point (0,0)). Il est souvent utilisé pour représenter des angles et calculer des valeurs de fonctions trigonométriques telles que le cosinus et le sinus.
Cosinus
Le cosinus d'un angle est la coordonnée x du point d'intersection du côté de l'angle avec le cercle trigonométrique.
Sinus
Le sinus d'un angle est la coordonnée y du point d'intersection du côté de l'angle avec le cercle trigonométrique.
Représentation du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est centré à l'origine d'un repère orthonormé, c'est-à-dire que son centre est à la coordonnée (0,0) et son rayon est de 1 unité. Sa circonférence représente tous les angles possibles en partant de zéro au point (1,0) et en tournant dans le sens antihoraire. Chaque point sur le cercle correspond à un angle unique exprimé soit en degrés, soit en radians.
Mesure des angles sur le cercle
Les angles sur le cercle trigonométrique peuvent être mesurés en degrés ou en radians. 360 degrés équivalent à 2π radians. Un angle de 90 degrés équivaut à π/2 radians. Sur le cercle trigonométrique, chaque segment ou arc est proportionnel à l'angle formé avec l'axe des abscisses (l'axe x).
Calcul du sinus et du cosinus
Pour un angle donné θ, qui commence sur l'axe des abscisses positifs, le point d'intersection avec le cercle trigonométrique à cet angle a des coordonnées (cos(θ), sin(θ)). Ainsi, cos(θ) est la projection sur l'axe des x, et sin(θ) est la projection sur l'axe des y. Par exemple, si θ est de 30 degrés (ou π/6 radians), alors cos(30°) = √3/2 et sin(30°) = 1/2.
Exemple de calcul
Considérons l'angle de 45 degrés (ou π/4 radians). À cet angle, le point sur le cercle trigonométrique est déterminé par les coordonnées (cos(45°), sin(45°)). Nous savons que pour un angle de 45 degrés, cos(45°) = sin(45°) = √2/2. Cela signifie que pour chaque unité de mouvement autour du cercle, le long de cet angle, le déplacement horizontal (x) et le déplacement vertical (y) sont chacun √2/2 unités.
Autres relations trigonométriques
D'autres fonctions trigonométriques importantes liées au cercle trigonométrique sont la tangente et la cotangente. La tangente d'un angle est le rapport du sinus sur le cosinus, soit tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Ainsi, sur le cercle trigonométrique, la tangente représente la pente de la ligne qui passe par l'origine et par le point (cos(θ), sin(θ)).
A retenir :
Le cercle trigonométrique est un outil essentiel en trigonométrie pour visualiser et calculer les valeurs des fonctions trigonométriques cosinus et sinus. En projetant un angle sur le cercle, les coordonnées du point d'intersection deviennent respectivement le cosinus et le sinus de cet angle. Ces concepts sont fondamentaux pour comprendre le comportement périodique des fonctions trigonométriques et leur utilisation en mathématiques et sciences.
