I. Démarche d'Étude Statistique

1. Formalisation : Types de Caractères

• Caractères Qualitatifs :
• Nominal : Pas d'ordre (ex : professions, types de produits).
• Ordinal : Ordre entre les catégories (ex : niveaux d'éducation).
• Caractères Quantitatifs :
• Discret : Valeurs entières (ex : nombre de personnes, jours).
• Continu : Prend toutes les valeurs dans un intervalle (ex : âge, taille).

II. Tableaux de Données et Représentations Graphiques

1. Tableaux et Graphiques pour Caractères Qualitatifs :

• Tableau de Fréquence Simple : Montre les effectifs (ni) et les fréquences (fi =ni/N ) de chaque catégorie.
• Graphiques :
• Diagramme en Secteurs (Camembert) : Représente la part de chaque catégorie par rapport au total, adapté aux données qualitatives nominales et ordinales.
• Diagramme en Bandes : Permet de comparer les effectifs ou les pourcentages de plusieurs catégories, souvent utilisé pour des données qualitatives ou pour comparer plusieurs groupes (ex : deux entreprises).

1. Tableaux et Graphiques pour Caractères Quantitatifs Discrets :

• Tableau de Fréquence Simple : Liste chaque valeur discrète de la variable (xi ) avec ses effectifs (ni) et fréquences (fi).
• Tableau de Fréquences Cumulées : Pour les effectifs cumulés croissants (Ni ), utilisé pour la médiane ou l'analyse de position.
• Graphiques :
• Diagramme en Bâtons : Représente la discontinuité entre les valeurs discrètes en utilisant des barres séparées.
• Diagramme en Secteurs : Peut aussi être utilisé pour représenter la répartition d'un caractère quantitatif discret (par exemple, le nombre de familles ayant 0, 1, 2, etc., enfants).

1. Tableaux et Graphiques pour Caractères Quantitatifs Continus :

• Tableau de Classes :
• Divise les données continues en classes ([L1 ;L2 [) avec leurs effectifs (ni ), fréquences (fi ), et densités.
• Effectifs Cumulés : On utilise les bornes supérieures des classes pour l'analyse cumulative.
• Graphiques :
• Histogramme : Affiche la distribution des effectifs dans chaque classe avec la largeur des rectangles proportionnelle à l'amplitude de la classe.
• Polygone des Effectifs : Représente la répartition cumulée, chaque point sur la courbe indiquant un effectif cumulé.
• Courbe de Répartition (Ogive) : Utile pour visualiser les effectifs cumulés croissants, en prenant les bornes supérieures des classes.

III. Paramètres de Tendance Centrale

1. Mode (Mo)

• Série discrète : La valeur de la variable ayant le plus grand effectif.
• Série continue : Classe modale, c'est-à-dire celle avec le plus grand effectif.

1. Médiane (Me)

• Série discrète : La valeur au centre des données, telle que 50% des effectifs sont en-dessous et 50% au-dessus.
• Si N est impair : Me=valeur pour N/2+0,5.
• Si N est pair : Moyenne des deux valeurs centrales.
• Série continue : Calcul par interpolation linéaire dans la classe médiane. Si N est le nombre total et N/2 se situe dans la classe [L1 ;L2 [, alors : 
• Me= L1 +(N/2 - Fprécédent / f ) × amplitude 

• où Fprécédent est l'effectif cumulé avant la classe médiane, f est l’effectif de la classe médiane.

1. Moyenne Arithmétique (xˉ)

• Série discrète :x-

• Où xi sont les valeurs de la variable et ni les effectifs correspondants.

• Série continue : Moyenne pondérée des centres de classes (xi ) par les effectifs :x

III. Paramètres de Dispersion 

1. Variance (V(x)) et Écart-Type (σ)

• Variance pour une série discrète :

• Écart-Type :

• Ces mesures montrent la dispersion autour de la moyenne. Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées.

1. Coefficient de Variation (CV)

• Pour évaluer la dispersion relative des données : 

• Si CV est élevé, la dispersion est forte par rapport à la moyenne.

Exemple d'Application

1. Mode : Dans une série discrète avec des effectifs [10,20,40,15,12,8], le mode est x=2 car n2 =40 (effectif le plus élevé).

1. Médiane : Pour N=105, on calcule N/2+0,5=53, donc la médiane est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé atteint ou dépasse 53.

1. Moyenne et Écart-Type :

• Moyenne : xˉ= 233/ 105 =2,22.
• Variance et écart-type calculés sur la base des écarts entre chaque valeur et la moyenne.