1. Concepts et Introduction à l'ACP

Définition et Objectifs :

• Analyse en Composantes Principales (ACP) :
• Réduire un grand nombre de variables en un plus petit nombre de facteurs tout en conservant l’essentiel de l’information.
• Identifier des combinaisons linéaires de variables initiales (appelées composantes ou facteurs).
• Simplifier l’interprétation des données complexes.
• Utilité :
• Identifier les variables qui contribuent le plus à la variabilité des données.
• Résumer plusieurs variables corrélées en un facteur synthétique.
• Exemple : Calculer une moyenne pondérée des notes par matière pour résumer la performance d’un élève.

Exploration vs. Confirmation :

1. Analyse Factorielle Exploratoire (AFE) :

• Cas où on ne connaît pas les facteurs.
• Objectif : Identifier les facteurs latents (cachés) expliquant le maximum de variabilité.

1. Analyse Factorielle Confirmatoire (AFC) :

• Cas où les facteurs sont déjà connus.
• Objectif : Vérifier la cohérence des variables associées à chaque facteur.

2. Mécanismes de l'ACP

1. Corrélation et Variabilité

• Matrice de corrélation :
• Analyse les relations entre les variables pour repérer celles qui sont inutiles ou incohérentes.
• Exemple : Si une variable n’est pas corrélée avec d'autres, elle n’apporte pas d’information commune.
• Variance totale expliquée :
• Montre combien d’information chaque composante explique.
• Exemple :
• Composante 1 (C1) explique 34.5% de la variabilité totale.
• Les trois premières composantes expliquent 62% de l’information initiale.

2. Indice KMO (Kaiser-Meyer-Olkin)

• But :
• Mesurer la cohérence des variables entre elles.
• Indique si l’analyse factorielle est adaptée.
• Si KMO > 0.7, l’analyse est cohérente.
• Si KMO < 0.5, l’analyse factorielle n’est pas recommandée.

3. Évaluation des Composantes

• Qualité des représentations :
• Vérifie si une variable est bien représentée dans les facteurs.
• Mesure entre 0 (mauvaise représentation) et 1 (bonne représentation).
• Matrice des composantes :
• Montre les poids des variables dans chaque facteur.
• Exemple :
• F1=0.547P1+0.508P2+…F1 = 0.547P_1 + 0.508P_2 + \ldots

4. Rotation des Composantes

• Rotation Varimax :
• Rend les résultats plus clairs et interprétables.
• Augmente les poids des variables fortement liées à un facteur tout en diminuant les poids faibles.

3. Application Pratique : AFE

Étapes :

1. Standardisation des données :

• Les variables doivent avoir une moyenne de 0 et un écart-type de 1.

1. Extraction des facteurs :

• Utilisation de l’Eigenvalue pour déterminer le nombre de facteurs.
• Règle : Retenir les facteurs avec une Eigenvalue > 1.

1. Calcul des poids (coefficients) :

• Chaque variable contribue à la formation d’un facteur.
• Exemple :
• F1=0.547P1+0.508P2+…F1 = 0.547P_1 + 0.508P_2 + \ldots

1. Rotation (Varimax) :

• Simplifie l’interprétation en concentrant chaque variable sur un seul facteur.

Exemple :

• Si les trois premières composantes expliquent 62% de la variance totale, cela signifie qu’on peut résumer les données initiales à 62% avec ces trois composantes.

4. Application Pratique : AFC

Concept des échelles psychométriques :

• But : Vérifier que les variables mesurent bien les dimensions prévues.
• Exemple :Questionnaire avec plusieurs items mesurant une seule dimension (e.g., satisfaction client).
• Les items sont des variables regroupées sous un même facteur.

Étapes :

1. Définir les facteurs (dimensions).
2. Vérifier la cohérence des variables au sein de chaque facteur :

• À l’aide de matrices de corrélation et d’Eigenvalues.

Cas d’utilisation :

• Validation de questionnaires ou d'échelles de mesure en psychologie, marketing, etc.

5. Interprétation des Résultats

1. Variance totale expliquée :

• Montre combien chaque facteur explique dans la variabilité totale des données.

2. Poids des variables dans les facteurs :

• Les variables avec des poids proches de 1 ont une forte contribution dans ce facteur.
• Les poids faibles peuvent être supprimés après rotation.

3. Utilisation de Varimax :

• Simplifie la lecture : chaque variable contribue principalement à un seul facteur.

4. Limites :

• Si KMO est faible ou les corrélations sont faibles, l’analyse factorielle n’est pas adaptée.
• Attention à l’interprétation subjective des facteurs extraits.

6. Cas Pratiques dans SPSS

1. AFE :

• Ne pas appliquer de rotation si l’objectif est de trouver un seul facteur.
• Examiner la matrice des composantes et la variance expliquée.

2. AFC :

• Appliquer les rotations (Varimax) pour vérifier la cohérence des groupes de variables.
• Interpréter les poids pour confirmer l’association des variables à chaque facteur.