Définitions
Définition
Quadratique
Un polynôme du second degré, ou quadratique, est une expression mathématique de la forme ax² + bx + c où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0.
Solution ou racine
Une solution ou racine d'une équation quadratique est la valeur de x qui satisfait l'équation ax² + bx + c = 0.
Discriminant
Le discriminant d'une équation quadratique est donné par D = b² - 4ac. Il détermine le nombre et le type de solutions de l'équation.
Forme canonique d'un polynôme du second degré
La forme standard d'un polynôme du second degré est ax² + bx + c. Cependant, il peut être plus utile de travailler avec la forme canonique quand on souhaite identifier le sommet de la parabole associée. La forme canonique d'une quadratique est a(x - α)² + β, où (α, β) est le sommet de la parabole. Cette forme est obtenue par complétion du carré.
Résolution de l'équation quadratique
Pour résoudre l'équation ax² + bx + c = 0, on peut utiliser la formule quadratique x = (-b ± √D) / (2a), où D est le discriminant. Selon la valeur de D, nous avons :
1. Si D > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes.
2. Si D = 0, l'équation a une solution réelle double (ou une racine double).
3. Si D < 0, l'équation n'a pas de solution réelle mais deux solutions complexes conjuguées.
Le discriminant et son interprétation géométrique
Le discriminant joue un rôle crucial non seulement dans la résolution d'équations quadratiques, mais également dans l'interprétation géométrique de ces équations. Par exemple, le signe du discriminant indique combien de fois la parabole coupe l'axe des abscisses.
1. Si D > 0, la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.
2. Si D = 0, la parabole est tangente à l'axe des abscisses.
3. Si D < 0, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Applications des équations du second degré
Les équations quadratiques sont omniprésentes dans de nombreuses disciplines scientifiques. Elles sont utilisées pour modéliser des phénomènes naturels et dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie, l'économie, et plus encore. Par exemple, la trajectoire d'un objet en chute libre ou le comportement des circuits électriques contenant des composants réactifs peuvent souvent être modélisés par des équations du second degré.
A retenir :
Un polynôme du second degré s'exprime sous la forme ax² + bx + c et ses solutions dépendent du discriminant D = b² - 4ac. La forme canonique est utile pour déterminer le sommet d'une parabole, et les solutions peuvent être réelles ou complexes suivant la valeur de D. Les concepts de discriminant et de formes canoniques sont essentiels pour comprendre à la fois les propriétés algébriques et géométriques des fonctions quadratiques.
