Définition
Vecteur
Un vecteur est un objet mathématique qui a à la fois une direction, un sens et une norme (ou longueur).
Norme
La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur. Elle est toujours positive ou nulle.
Direction
La direction d’un vecteur est la ligne ou la ligne droite le long de laquelle un vecteur agit.
Sens
Le sens d’un vecteur est l’une des deux orientations possibles qu’il peut avoir le long de sa direction.
Composantes
Les composantes d'un vecteur en dimension n sont les coordonnées du point qui le représente dans un repère orthonormé.
Représentation Géométrique des Vecteurs
Un vecteur est souvent représenté dans le plan par un segment fléché. La longueur du segment est proportionnelle à la norme du vecteur, la direction du segment correspond à la direction du vecteur, et la flèche indique le sens. Dans un espace à trois dimensions, les vecteurs sont représentés par des flèches en 3D. Les coordonnées du point de fin (extrémité) minus celles du point de départ (origine) donnent les composantes du vecteur.
Opérations sur les Vecteurs
Il existe plusieurs opérations que l'on peut effectuer sur les vecteurs : l'addition, la soustraction, et la multiplication par un scalaire. Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs composantes respectives. La soustraction d'un vecteur est l'addition de son opposé. La multiplication par un scalaire consiste à multiplier chaque composante du vecteur par ce scalaire, ce qui affecte la norme du vecteur mais laisse sa direction inchangée.
Produit Scalaire
Le produit scalaire est une opération qui associe deux vecteurs à un nombre réel. C'est l'un des moyens les plus fondamentaux pour examiner la relation angulaire entre deux vecteurs. En dimension 2 ou 3, le produit scalaire est calculé en multipliant les composantes correspondantes des deux vecteurs et en les additionnant. Le résultat est un nombre représentant la projection de l'un des vecteurs sur l'autre. Si le produit scalaire est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire qu'ils forment un angle de 90 degrés entre eux.
Applications des Vecteurs
Les vecteurs sont utilisés dans de nombreux domaines pour modéliser des phénomènes qui ont une direction et une magnitude. Par exemple, en physique, les forces, vitesses et déplacements sont souvent décrits par des vecteurs. Dans la programmation informatique et le graphisme, les vecteurs servent à représenter des images et décrire des mouvements. Ils sont également fondamentaux dans les domaines des mathématiques appliquées, de l'ingénierie, et bien d'autres sciences.
A retenir :
Les vecteurs sont des outils mathématiques puissants utilisés pour modéliser des quantités directionnelles. Comprendre la représentation géométrique des vecteurs, ainsi que les opérations comme l'addition, la soustraction, et la multiplication par un scalaire, est essentiel pour exploiter pleinement leurs capacités. Les vecteurs apparaissent dans de nombreuses applications pratiques (physique, informatique, graphisme), ce qui en fait une notion fondamentale pour les étudiants en sciences et en ingénierie.
