Le théorème de Thalès est un outil essentiel en géométrie qui permet de calculer des longueurs de segments et de démontrer que des droites sont parallèles ou non. Il est particulièrement utile lorsque l'on a des triangles et des droites parallèles. C'est un théorème puissant, facile à retenir et à appliquer une fois que l'on a compris ses conditions.
Définition
Droites parallèles
Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge à l'infini. On les reconnaît souvent par des flèches sur les droites ou le symbole ||.
Droites sécantes
Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point. Ce point d'intersection est appelé le point commun aux deux droites.
Points alignés
Trois points ou plus sont alignés s'ils appartiennent à la même droite.
Configuration de Thalès
Il existe deux configurations possibles pour appliquer le théorème de Thalès : la configuration en triangles emboîtés et la configuration en « papillon » ou « sablier ». Dans les deux cas, on a deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.
Comprendre le Théorème de Thalès
Les Conditions d'Application du Théorème de Thalès
Pour pouvoir utiliser le théorème de Thalès, il faut impérativement que trois conditions soient réunies :
- Condition 1 : Avoir deux droites sécantes. C'est-à-dire deux droites qui se coupent en un point (qu'on appellera souvent A, O ou S).
- Condition 2 : Avoir des points alignés. Par exemple, A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés.
- Condition 3 : Avoir deux droites parallèles. Ces droites doivent « couper » les droites sécantes. Par exemple, les droites (BC) et (MN) doivent être parallèles.
Si ces trois conditions sont remplies, alors on peut écrire l'égalité de Thalès.
Écrire l'Égalité de Thalès
Une fois les conditions vérifiées, on peut écrire l'égalité des rapports. Il s'agit de trois fractions égales entre elles. La façon la plus simple de la retenir est de se dire : « Petit côté sur Grand côté ».
Prenons un exemple avec la configuration en triangles emboîtés (un petit triangle à l'intérieur d'un plus grand, avec un sommet commun). Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, et que les points A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés, alors on a :
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Ou si on prend « Grand côté sur Petit côté », cela fonctionne aussi, il faut juste être cohérent :
AB / AM = AC / AN = BC / MN
Conseil : Le sommet commun aux deux droites sécantes est toujours le premier point de chaque segment dans les fractions (ici le point A). Le rapport des segments sur les droites sécantes (AM/AB et AN/AC) et le rapport des segments des droites parallèles (MN/BC) forment l'égalité.
Appliquer le Théorème pour Calculer une