Suites Arithmétiques : Somme des n Premiers Termes

Une suite arithmétique est une séquence de nombres où la différence entre des termes consécutifs est constante. Cette fiche de révision vise à vous permettre de maîtriser la formule essentielle pour calculer rapidement la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique et de l'appliquer efficacement à des situations concrètes.

Suite arithmétique

Une suite de nombres où chaque terme, à partir du deuxième, est obtenu en ajoutant une constante (la raison) au terme précédent.

Raison (r)

La constante ajoutée à un terme pour obtenir le suivant dans une suite arithmétique. Elle peut être positive, négative ou nulle.

Terme général (tn)

L'expression qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite en fonction de son rang (n) et des caractéristiques initiales de la suite (premier terme et raison).

Formule explicite

Une formule qui donne directement la valeur d'un terme (tn) en fonction de son rang (n), sans nécessiter le calcul des termes précédents.

Somme des n premiers termes (Sn)

Le résultat de l'addition des n premiers termes d'une suite arithmétique, de t1 à tn.

Comprendre la suite arithmétique

Une suite arithmétique (SA) se caractérise par une progression constante. Chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur fixe, appelée la raison (notée r), au terme qui le précède. Si r est positive, la suite est croissante ; si r est négative, elle est décroissante ; et si r est nulle, la suite est constante.

Calcul du n-ième terme

Avant de calculer la somme, il est souvent nécessaire de déterminer la valeur d'un terme spécifique. La formule explicite du n-ième terme d'une suite arithmétique, en partant du premier terme t₁, est fondamentale :

t_n = t_1 + (n - 1)r

Cette formule permet de trouver directement n'importe quel terme t_n sans avoir à calculer tous les termes intermédiaires. Par exemple, si t₁ = 4 et r = 7, alors le 12^e terme t₁₂ = 4 + (12 - 1) × 7 = 4 + 11 × 7 = 4 + 77 = 81.

La formule de la somme des n premiers termes

Pour calculer la somme S_n des n premiers termes d'une suite arithmétique (t₁ + t₂ + ... + t_n), il existe une formule simplifiée qui évite d'additionner chaque terme un par un. Cette formule est la suivante :

S_n = \frac{n(t_1 + t_n)}{2}

Dans cette formule :

n représente le nombre de termes que l'on souhaite additionner.
t₁ est le premier terme de la somme.
t_n est le dernier terme de la somme (le n-ième terme).

Application pratique

Considérons une suite arithmétique dont le premier terme t₁ = 6 et la raison r = 5. Nous voulons calculer la somme des 22 premiers termes (S₂₂).
1. Calculer le dernier terme (t_n) : Si t_n n'est pas donné, utilisez la formule du n-ième terme. Ici, n = 22, donc t₂₂ = t₁ + (22 - 1)r = 6 + 21 × 5 = 6 + 105 = 111.
2. Appliquer la formule de la somme : Maintenant que nous avons t₁ = 6, t₂₂ = 111 et n = 22, nous pouvons calculer S₂₂ :
S₂₂ = (22 × (6 + 111)) / 2 = (22 × 117) / 2 = 11 × 117 = 1287.
Ainsi, la somme des 22 premiers termes de cette suite est 1287.

A retenir :

Une suite arithmétique est définie par un premier terme t₁ et une raison r constante.
Le n-ième terme d'une suite arithmétique se calcule avec la formule : t_n = t₁ + (n - 1)r.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique se calcule avec la formule : S_n = n(t₁ + t_n) / 2.
Pour appliquer la formule de la somme, assurez-vous de connaître le premier terme (t₁), le nombre de termes (n) et le dernier terme (t_n). Si t_n est inconnu, calculez-le d'abord à l'aide de la formule du n-ième terme.