Suite géométrique
Définition
La formule générale pour le terme général d'une suite géométrique est :un = u1 × qn-1
La formule de la somme des termes d'une suite géométrique finie est :
Sn = u1(1 - qn)/(1 - q)
- Sn est la somme des n premiers termes, u1 est le premier terme, q est la raison de la suite et n est le nombre de termes.
Exemple
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison - 2 et de premier terme U0 = 1.
La suite ሼ1,2,4,8,16, … ሽ est une suite géométrique de raison 2 puisque chaque terme est obtenu du précédent en le multipliant par 2. La suite ሼ9,3,1,1/3, … ሽ est une suite géométrique de raison 1/3.
2. Terme de rang n d'une suite géométrique
Par définition, on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q (raison).
Un=qxUn-1
Un-1=qxUn-2 donc Un=q²xUn-2
Un-2=qxUn-3 donc Un= q3xUn-3
U1= qxU0 donc Un=qnxUn-n = qnxU0
Terme de rang n :
Si une suite (Un) est géométrique de raison q et de premier terme Uo alors Un= qnxU0.
Exemples
• La suite géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison 4 peut s'écrire de manière explicite :
.
• Soit une somme de 2 000 € placée à intérêts composés de 4 %. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.
Si U0 est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est :
.
Au bout de 2 ans :
.
Au bout de 3 ans :
.
(Un) est une suite géométrique de raison 1,04 donc
.
Au bout de 10 ans :
€.
Sens de variation d'une suite géométrique
D'après la définition du sens de variation d'une suite, celui d'une suite géométrique va dépendre du signe de sa raison q et de son premier terme Uo :
• Si q > 1 et : U0 > 0 alors la suite géométrique est croissante
U0 < 0 alors la suite géométrique est décroissante.
• Si o < q < 1 et : U0 > 0 alors la suite géométrique est décroissante
U0 < 0 alors la suite géométrique est croissante.
• Si q < 0 alors la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante.
• Si q = 1 alors la suite géométrique est constante : Un = U0.
Exemples
• Si une suite géométrique est de raison 4 alors :
elle est croissante si U0 = 1 ; U1 = 4 ; U2 = 16 ; U3 = 64...
elle est décroissante si U0 = -1 ; U1 = -4 ; U2 = -16 ; U3 = -64...
• Si une suite géométrique est de raison
alors :
elle est décroissante si U0 = 3 ;
;
;
...
elle est croissante si U0 = -3 ;
;
;
...
• Si une suite géométrique est de raison -3 alors elle n'est ni croissante ni décroissante quelque soit le premier terme :
U0 = 1 ; U1 = -3 ; U2 = 9 ; U3 = -27 ...
Les termes sont alternativement positifs puis négatifs
Représentation graphique d'une suite géométrique
Exemple
Soit (Un) une suite géométrique de raison 3 et de premier terme U0 = 1.
U1 = 3 ; U2 = 9 ; U3 = 27...
Propriété
Les points d'une suite géométrique ne sont pas alignés : on parle d'une croissance exponentielle.