La fonction logarithme népérien, notée ln, est une fonction mathématique essentielle. Cette fiche vous aidera à comprendre comment résoudre les équations et inéquations qui utilisent cette fonction, en faisant bien attention aux conditions pour qu'elle existe.
Fonction logarithme népérien (ln)
C'est une fonction mathématique qui transforme les multiplications en additions et les divisions en soustractions. Elle est définie seulement pour les nombres strictement positifs (plus grands que zéro).
Ensemble de définition (ED)
C'est l'ensemble de toutes les valeurs de 'x' pour lesquelles une fonction peut être calculée. Pour la fonction ln(x), 'x' doit toujours être strictement positif (x > 0).
Équation logarithmique
Une équation où l'inconnue (souvent 'x') se trouve à l'intérieur d'une fonction logarithme, par exemple ln(x) = 5.
Inéquation logarithmique
Une inéquation où l'inconnue (souvent 'x') se trouve à l'intérieur d'une fonction logarithme, par exemple ln(x) > 5.
Rappel sur la fonction logarithme népérien (ln) La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie pour tous les nombres réels 'x' strictement positifs (x > 0). Elle a quelques propriétés très utiles pour simplifier les calculs et résoudre des problèmes :
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1 (où 'e' est un nombre spécial d'environ 2,718)
La fonction ln est strictement croissante. Cela signifie que si a < b, alors ln(a) < ln(b). C'est très important pour les inéquations.
f(x) = ln(x)
Représentation graphique de la fonction ln(x)
L'ensemble de définition (ED) Avant de résoudre une équation ou une inéquation avec ln, il faut toujours déterminer son ensemble de définition. Pourquoi ? Parce que la fonction ln n'est définie que pour des nombres strictement positifs. L'expression à l'intérieur du ln doit toujours être > 0.
Par exemple :
Par exemple :
- Pour ln(x), il faut que x > 0. L'ED est ]0; +∞[.
- Pour ln(x-2), il faut que x-2 > 0, donc x > 2. L'ED est ]2; +∞[.
- Pour ln(x² + 1), comme x² est toujours positif ou nul, x² + 1 est toujours strictement positif. L'ED est donc ℝ (tous les nombres réels).
Résoudre une équation logarithmique Pour résoudre une équation du type ln(A) = ln(B) ou ln(A) = k :
- Déterminer l'ensemble de définition (ED) : Assurez-vous que toutes les expressions à l'intérieur des ln sont strictement positives.
- Simplifier l'équation : Utilisez les propriétés du ln pour regrouper les termes si nécessaire.
- Appliquer l'équivalence :
- Si vous avez ln(A) = ln(B), alors A = B.
- Si vous avez ln(A) = k (où k est un nombre), alors A = ek.
- Résoudre l'équation simple obtenue.
- Vérifier la solution : La ou les solutions trouvées doivent faire partie de l'ensemble de définition (ED). Si une solution n'est pas dans l'ED, elle n'est pas valide.
Exemple : Résoudre ln(x+1) = 0
- ED : Il faut que x+1 > 0, donc x > -1. L'ED est ]-1; +∞[.
- Simplifier : On sait que ln(1) = 0. Donc l'équation devient ln(x+1) = ln(1).
- Appliquer l'équivalence : Puisque ln(A) = ln(B) implique A = B, on a x+1 = 1.
- Résoudre : x = 1 - 1, donc x = 0.
- Vérifier : La solution x = 0 est bien dans l'ED ]-1; +∞[.
L'ensemble des solutions est S = {0}.
Résoudre une inéquation logarithmique Pour résoudre une inéquation du type ln(A) > ln(B) ou ln(A) < k :
- Déterminer l'ensemble de définition (ED) : Comme pour les équations, toutes les expressions à l'intérieur des ln doivent être strictement positives.
- Simplifier l'inéquation : Utilisez les propriétés du ln.
- Appliquer l'équivalence : Comme la fonction ln est strictement croissante :
- Si ln(A) > ln(B), alors A > B.
- Si ln(A) < ln(B), alors A < B.
- Si ln(A) > k, alors A > ek.
- Si ln(A) < k, alors A < ek.
- Résoudre l'inéquation simple obtenue.
- Combiner avec l'ED : La solution finale est l'intersection de l'intervalle trouvé à l'étape 4 et de l'ensemble de définition (ED). C'est très important de ne pas oublier cette étape !
Exemple : Résoudre ln(x) > 1
- ED : Il faut que x > 0. L'ED est ]0; +∞[.
- Simplifier : On sait que ln(e) = 1. Donc l'inéquation devient ln(x) > ln(e).
- Appliquer l'équivalence : Puisque ln est croissante, ln(A) > ln(B) implique A > B. Donc x > e.
- Résoudre : L'inéquation est déjà résolue : x > e.
- Combiner avec l'ED : On a x > e et x > 0. Comme e ≈ 2,718, si x > e, alors x est automatiquement > 0.
L'ensemble des solutions est S = ]e; +∞[.
A retenir :
En résumé :
- La fonction ln(x) est définie seulement si x > 0. C'est l'ensemble de définition.
- Utilise les propriétés : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(an) = n ln(a).
- Pour les équations : ln(A) = ln(B) donne A = B. ln(A) = k donne A = ek.
- Pour les inéquations : ln(A) > ln(B) donne A > B (car ln est croissante). ln(A) > k donne A > ek.
- TOUJOURS vérifier que tes solutions sont compatibles avec l'ensemble de définition initial.