Résolution d'équations et d'inéquations du 1er degré

Les bases : équations et inéquations

Équation du premier degré

Une équation du premier degré est une égalité qui peut être mise sous la forme $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et $a \ne 0$. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue $x$ qui rendent l'égalité vraie.

Inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré est une inégalité qui peut être mise sous l'une des formes $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$, ou $ax + b \le 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et $a \ne 0$. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue $x$ qui rendent l'inégalité vraie.

La résolution d'équations et d'inéquations du premier degré est une compétence fondamentale en mathématiques. Elle repose sur des principes simples de manipulation algébrique.

Résolution d'équations du premier degré

Pour résoudre une équation du premier degré du type $ax + b = 0$, l'objectif est d'isoler l'inconnue $x$. Cela se fait en appliquant des opérations (addition, soustraction, multiplication, division) de manière symétrique aux deux membres de l'équation.

Principe de base

On peut ajouter ou soustraire le même nombre (ou la même expression) aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions.
On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par le même nombre non nul sans changer ses solutions.

Exemple de résolution

Soit l'équation $3x - 7 = 5$.

Étape 1 : Isoler le terme en $x$. Pour cela, on ajoute 7 aux deux membres de l'équation :
3x - 7 + 7 = 5 + 7
3x = 12
Étape 2 : Isoler $x$. Pour cela, on divise les deux membres par 3 (le coefficient de $x$) :
3x / 3 = 12 / 3
x = 4

La solution de l'équation est $x = 4$. On peut vérifier en remplaçant $x$ par 4 dans l'équation initiale : $3(4) - 7 = 12 - 7 = 5$. L'égalité est vérifiée.

ax+b=0 \Rightarrow ax = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \text{ (si } a \ne 0)

Formule générale de résolution d'une équation du premier degré

Résolution d'inéquations du premier degré

La résolution des inéquations suit les mêmes principes que celle des équations, à une différence majeure près concernant la multiplication ou la division par un nombre négatif.

Principes de base

On peut ajouter ou soustraire le même nombre (ou la même expression) aux deux membres d'une inéquation sans changer le sens de l'inégalité.
On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par le même nombre positif non nul sans changer le sens de l'inégalité.
On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par le même nombre négatif non nul en changeant le sens de l'inégalité. C'est le point le plus important à retenir !

Exemples de résolution

Exemple 1 : Résoudre $2x + 3 < 11$.

Soustraire 3 aux deux membres :
2x + 3 - 3 < 11 - 3
2x < 8
Diviser par 2 (nombre positif) :
2x / 2 < 8 / 2
x < 4

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 4. L'ensemble solution est l'intervalle $]-\infty; 4[$.

Exemple 2 : Résoudre $-3x + 5 \le 17$.

Soustraire 5 aux deux membres :
-3x + 5 - 5 \le 17 - 5
-3x \le 12
Diviser par -3 (nombre négatif) et changer le sens de l'inégalité :
-3x / (-3) \ge 12 / (-3)
x \ge -4

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à -4. L'ensemble solution est l'intervalle $[-4; +\infty[$.

Représentation des solutions

Les solutions d'une inéquation sont souvent représentées sur une droite numérique ou sous forme d'intervalle. Une parenthèse ou un crochet indique si la borne est incluse ou exclue.

Crochet tourné vers l'extérieur (ou parenthèse) : la valeur n'est pas incluse (inégalités strictes < ou >). Exemple : $]a; b[$ ou $(a; b)$.
Crochet tourné vers l'intérieur : la valeur est incluse (inégalités larges \le ou \ge). Exemple : $[a; b]$.

A retenir :

Résumé des notions clés

Une équation du 1er degré est de la forme $ax + b = 0$.
Une inéquation du 1er degré est de la forme $ax + b \text{ (signe d'inégalité) } 0$.
Pour isoler $x$, on effectue les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité/inégalité.
Attention au changement de sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Les solutions d'une inéquation sont généralement des intervalles, représentables sur une droite numérique.
Vérifiez toujours vos solutions, surtout pour les équations, en remplaçant $x$ dans l'énoncé initial.