Représentation graphique : la parabole

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré, $f(x) = ax^2 + bx + c$, est toujours une parabole. La valeur du coefficient $a$ est primordiale pour déterminer l'allure de cette parabole :

• Si $a > 0$, la parabole est « ouverte vers le haut », comme un sourire. Dans ce cas, la fonction admet un minimum en son sommet.
• Si $a < 0$, la parabole est « ouverte vers le bas », comme un froncement de sourcils. Dans ce cas, la fonction admet un maximum en son sommet.

Les coefficients $b$ et $c$ influencent la position de la parabole dans le repère, mais pas son orientation.

Toute parabole possède un point particulier appelé le sommet. Ce sommet représente le point le plus bas (si $a > 0$) ou le point le plus haut (si $a < 0$) de la courbe. Ses coordonnées $S(x_S; y_S)$ peuvent être calculées par les formules :

Et $y_S = f(x_S)$, que l'on peut aussi calculer par la formule $y_S = -\frac{\Delta}{4a}$, où $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.

La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet. Cette droite est appelée l'axe de symétrie et a pour équation $x = x_S = -\frac{b}{2a}$.

Le tableau de variations d'une fonction du second degré résume le comportement de la fonction et de sa parabole. Il dépend directement du signe de $a$ :

• Si $a > 0$ : La fonction est décroissante de $-\infty$ jusqu'à $x_S = -\frac{b}{2a}$, puis croissante de $x_S$ jusqu'à $+\infty$. Le minimum de la fonction est $y_S = f(x_S)$.
• Si $a < 0$ : La fonction est croissante de $-\infty$ jusqu'à $x_S = -\frac{b}{2a}$, puis décroissante de $x_S$ jusqu'à $+\infty$. Le maximum de la fonction est $y_S = f(x_S)$.

Comprendre le tableau de variations permet de savoir comment la valeur de $f(x)$ évolue en fonction de $x$.

Les racines d'une fonction polynôme du second degré sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$. Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Leur existence dépend du signe du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :

• Si $\Delta > 0$ : Il y a deux racines distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points. Dans ce cas, on peut factoriser $f(x)$ sous la forme $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Si $\Delta = 0$ : Il y a une seule racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$. La parabole est tangente à l'axe des abscisses en un seul point (son sommet). La factorisation est $f(x) = a(x - x_0)^2$.
• Si $\Delta < 0$ : Il n'y a pas de racines réelles. La parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses. La fonction ne peut pas être factorisée sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec des $x_1, x_2$ réels.