Relation de conjugaison et grandissement

Lorsque la lumière traverse une lentille mince, qu'elle soit convergente ou divergente, elle va former une image d'un objet. Pour prévoir la position et la taille de cette image, deux relations fondamentales sont utilisées en optique géométrique : la relation de conjugaison et la relation de grandissement. Ces outils sont essentiels pour comprendre le fonctionnement des instruments d'optique comme les loupes, les télescopes ou les appareils photo.

Par convention, on considère que la lumière se propage de gauche à droite. L'objet AB est réel s'il est placé avant la lentille (à gauche), son image A'B' peut être réelle (derrière la lentille) ou virtuelle (devant la lentille). On utilise un repère dont l'origine est le centre optique O de la lentille, l'axe des abscisses étant l'axe optique. Les distances algébriques sont positives si mesurées dans le sens de propagation de la lumière, et négatives dans le sens inverse.

La relation de conjugaison permet de relier la position de l'objet, la position de l'image et la vergence (ou la distance focale) de la lentille. Elle s'exprime de la manière suivante :

• OA est la distance algébrique entre le centre optique O et l'objet A. Si l'objet est à gauche de la lentille, OA est négatif.

• OA' est la distance algébrique entre le centre optique O et l'image A'. Si l'image est à droite de la lentille, OA' est positif.

• OF' est la distance focale image de la lentille. C'est la distance entre le centre optique O et le foyer principal image F'. Pour une lentille convergente, OF' est positif ; pour une lentille divergente, OF' est négatif.

On peut aussi écrire cette relation avec la vergence V de la lentille, qui est l'inverse de la distance focale image : V = 1/OF'. Ainsi, la relation de conjugaison devient :

Cette relation est très utile pour calculer la position de l'image si l'on connaît la position de l'objet et les caractéristiques de la lentille, ou inversement.

La relation de grandissement, notée γ (gamma), permet de déterminer la taille et le sens de l'image par rapport à l'objet. Elle est définie comme le rapport entre la taille de l'image et la taille de l'objet, mais aussi comme le rapport des distances algébriques :

• A'B' est la taille algébrique de l'image.

• AB est la taille algébrique de l'objet.

• OA' est la distance algébrique entre le centre optique O et l'image A'.

• OA est la distance algébrique entre le centre optique O et l'objet A.

L'interprétation du grandissement γ est la suivante :

• Si γ > 0 : l'image est droite (dans le même sens que l'objet). C'est le cas des images virtuelles données par une loupe.

• Si γ < 0 : l'image est inversée (sens opposé à l'objet). C'est le cas des images réelles formées par une lentille convergente.

• Si |γ| > 1 : l'image est agrandie par rapport à l'objet.

• Si |γ| < 1 : l'image est plus petite que l'objet (réduite).

• Si |γ| = 1 : l'image a la même taille que l'objet.

Ces deux relations sont fondamentales pour l'étude des systèmes optiques. Par exemple, pour concevoir un appareil photo, on utilise ces formules pour déterminer la distance entre l'objectif et le capteur (position de l'image) en fonction de la distance du sujet et de la focale de l'objectif. De même, un projecteur vidéo utilise ces relations pour projeter une image agrandie et nette sur un écran.