Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous une forme plus simple, avec le moins de termes possible. Pour cela, on va regrouper les termes semblables. C'est un peu comme trier des objets : on met les pommes avec les pommes et les poires avec les poires. En algèbre, on met les 'x' avec les 'x', les 'y' avec les 'y', les 'x²' avec les 'x²', et les nombres sans lettres (appelés constantes) ensemble.

Pour regrouper des termes semblables, on additionne ou soustrait leurs coefficients (les nombres devant les lettres) et on garde la même partie littérale.

C'est la règle d'or pour réduire une expression : on ne peut additionner ou soustraire que des termes semblables.

• Exemple 1 : Réduisons 5x + 3x. Les deux termes sont des 'x'. On additionne leurs coefficients : 5 + 3 = 8. Donc, 5x + 3x = 8x.
• Exemple 2 : Réduisons 7a - 2a. Les deux termes sont des 'a'. On soustrait leurs coefficients : 7 - 2 = 5. Donc, 7a - 2a = 5a.
• Exemple 3 : Réduisons 4y + 5 - y + 2. On identifie les termes semblables : les 'y' ensemble et les nombres ensemble.
  • Pour les 'y' : 4y - y (rappelle-toi que -y c'est -1y). Donc 4y - 1y = 3y.
  • Pour les nombres : +5 + 2 = +7.
  Au final, 4y + 5 - y + 2 = 3y + 7. On ne peut pas aller plus loin car 3y et 7 ne sont pas des termes semblables.

La multiplication fonctionne différemment. On peut multiplier n'importe quels termes entre eux. On multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

• Exemple 1 : 3 × 5x. On multiplie les nombres : 3 × 5 = 15. On garde le 'x'. Donc, 3 × 5x = 15x.
• Exemple 2 : 4x × 2y. On multiplie les nombres : 4 × 2 = 8. On multiplie les lettres : x × y = xy. Donc, 4x × 2y = 8xy.
• Exemple 3 : 5x × 3x. On multiplie les nombres : 5 × 3 = 15. On multiplie les lettres : x × x = x². Donc, 5x × 3x = 15x².

La distributivité est essentielle pour réduire des expressions qui contiennent des parenthèses. Il y a deux formes principales :

Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb

Pour développer et réduire une expression comme 3(x + 5), on multiplie le nombre devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur :

• 3 × x = 3x
• 3 × 5 = 15

Donc, 3(x + 5) = 3x + 15. On ne peut pas réduire davantage car 3x et 15 ne sont pas semblables.

Attention aux signes ! Si c'est -2(y - 4) :

• -2 × y = -2y
• -2 × (-4) = +8 (un moins par un moins donne un plus)

Donc, -2(y - 4) = -2y + 8.

Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Pour une expression comme (x + 2)(x + 3), on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde :

• x × x = x²
• x × 3 = 3x
• 2 × x = 2x
• 2 × 3 = 6

On obtient x² + 3x + 2x + 6. Maintenant, on réduit les termes semblables (ici 3x et 2x) :

x² + 5x + 6.

Pour réduire des expressions plus complexes, suis ces étapes :

1. Développer : Supprime les parenthèses en utilisant la distributivité (simple ou double) si nécessaire. Fais très attention aux signes !
2. Identifier : Repère les termes semblables (ceux qui ont la même partie littérale). Tu peux les souligner, les entourer de couleurs différentes, ou les trier mentalement.
3. Regrouper et calculer : Additionne ou soustrais les coefficients des termes semblables.
4. Simplifier : Écris l'expression finale en ordonnant les termes (par exemple, les termes avec des x² d'abord, puis les x, puis les constantes).

Exemple complet : Réduisons 5x + 3(2x - 1) + 4

1. Développer : 3(2x - 1) = 3 × 2x + 3 × (-1) = 6x - 3. L'expression devient : 5x + 6x - 3 + 4
2. Identifier les termes semblables :
   • Termes en 'x' : 5x et +6x
   • Termes constants (nombres) : -3 et +4
3. Regrouper et calculer :
   • Pour les 'x' : 5x + 6x = 11x
   • Pour les constantes : -3 + 4 = +1
4. Simplifier : L'expression réduite est 11x + 1.