Les ensembles de nombres sont des collections de nombres ayant des propriétés communes. Cette fiche de révision vise à consolider la compréhension des principaux ensembles (N, Z, D, Q, R) et à maîtriser leur distinction, essentielle en mathématiques.
Nombre décimal (D)
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a/10^n, où a est un entier relatif (a ∈ Z) et n est un entier naturel (n ∈ N). Il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.
Nombre rationnel (Q)
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme p/q, où p est un entier relatif (p ∈ Z) et q est un entier relatif non nul (q ∈ Z*). Sa partie décimale est soit finie, soit infinie et périodique.
Nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme p/q. Sa partie décimale est infinie et non périodique, sans aucune logique répétitive.
Nombre entier naturel (N)
L'ensemble des entiers naturels regroupe tous les nombres entiers positifs ou nuls (0, 1, 2, 3, ...).
Nombre entier relatif (Z)
L'ensemble des entiers relatifs inclut tous les nombres entiers, qu'ils soient positifs, négatifs ou nuls (... -2, -1, 0, 1, 2, ...).
Les ensembles de nombres La classification des nombres s'organise en ensembles emboîtés, chacun incluant le précédent et ajoutant de nouvelles propriétés. Comprendre ces inclusions est fondamental pour manipuler correctement les nombres en mathématiques.
Les nombres décimaux (D) Les nombres décimaux sont essentiels pour les mesures et les calculs monétaires. Ils se distinguent par leur écriture sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Exemples : 3,12 = 312/10^2 ∈ D ; 4 = 4,0 = 40/10^1 ∈ D.
Attention : 1/3 n'est pas un décimal car 1/3 = 0,333... avec une infinité de chiffres après la virgule non finie.
Exemples : 3,12 = 312/10^2 ∈ D ; 4 = 4,0 = 40/10^1 ∈ D.
Attention : 1/3 n'est pas un décimal car 1/3 = 0,333... avec une infinité de chiffres après la virgule non finie.
Les nombres rationnels (Q) Les nombres rationnels étendent les décimaux en permettant toute fraction d'entiers (avec un dénominateur non nul). Ils peuvent être positifs ou négatifs. Leur écriture décimale est soit finie, soit infinie et périodique.
Exemples : 1/2 = 0,5 ∈ Q ; 7/21 = 1/3 = 0,333... ∈ Q ; -4 = -4/1 ∈ Q.
Les nombres entiers naturels, entiers relatifs et décimaux sont tous des nombres rationnels.
Exemples : 1/2 = 0,5 ∈ Q ; 7/21 = 1/3 = 0,333... ∈ Q ; -4 = -4/1 ∈ Q.
Les nombres entiers naturels, entiers relatifs et décimaux sont tous des nombres rationnels.
Les nombres irrationnels Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés comme une fraction d'entiers. Leur caractéristique principale est une partie décimale infinie et non périodique. Ils ne font partie d'aucun des ensembles N, Z, D ou Q.
Exemples : √2 ≈ 1,414213562373... ; π ≈ 3,1415926535... ; π/3 ≈ 1,04719755...
Ces nombres complètent l'ensemble des nombres réels (R).
Exemples : √2 ≈ 1,414213562373... ; π ≈ 3,1415926535... ; π/3 ≈ 1,04719755...
Ces nombres complètent l'ensemble des nombres réels (R).
Inclusion des ensembles de nombres
A retenir :
- **N (Entiers Naturels)** : {0, 1, 2, ...}. Nombres entiers positifs ou nuls.
- **Z (Entiers Relatifs)** : {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. N ⊂ Z.
- **D (Décimaux)** : Nombres qui s'écrivent a/10^n (a ∈ Z, n ∈ N). Partie décimale finie. Z ⊂ D.
- **Q (Rationnels)** : Nombres qui s'écrivent p/q (p ∈ Z, q ∈ Z*). Partie décimale finie ou périodique. D ⊂ Q.
- **R (Réels)** : Tous les nombres sur la droite numérique. Inclut les rationnels et les irrationnels. Q ⊂ R.
- **Irrationnels** : Nombres réels non rationnels (partie décimale infinie non périodique), comme √2 ou π.
- **Chaîne d'inclusion** : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.