Imagine une machine. Tu y insères un nombre, par exemple 2, et la machine le transforme en un autre nombre, par exemple 4. Si tu insères de nouveau 2, la machine doit toujours te donner 4. C'est ça une fonction ! Elle prend un nombre (l'antécédent), lui applique une règle (le calcul de la fonction) et te donne un résultat (l'image).
On peut représenter une fonction de différentes manières :
Fonction
Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent), associe un unique nombre de sortie (appelé image). C'est un peu comme une machine à calculer où tu rentres un nombre et il en sort un autre, mais toujours le même pour une même entrée.
Antécédent
L'antécédent est le nombre de départ, celui que tu 'donnes' à la fonction. Il est souvent noté x.
Image
L'image est le nombre de résultat, celui que la fonction 'produit' à partir de l'antécédent. Elle est souvent notée f(x) ou y.
Qu'est-ce qu'une fonction, concrètement ?
Les différentes façons d'exprimer une fonction
1. Par un programme de calcul
C'est la manière la plus simple de comprendre. Par exemple :
- Choisir un nombre
- Le multiplier par 3
- Ajouter 5
Si tu choisis 2 : (2 × 3) + 5 = 6 + 5 = 11. Ici, 2 est l'antécédent et 11 est l'image.
2. Par une formule mathématique
La formule est la traduction du programme de calcul. Si on appelle notre fonction f et le nombre de départ x, le programme de calcul précédent s'écrit :
On dit que « f de x » est égal à 3x + 5. C'est la façon la plus courante de noter une fonction en maths.
Pour calculer l'image de 2 par la fonction f, on remplace x par 2 :
On dit que l'image de 2 par la fonction f est 11.
3. Par un tableau de valeurs
Un tableau de valeurs liste quelques antécédents et leurs images correspondantes. Par exemple pour f(x) = 3x + 5 :
| x (Antécédent) | f(x) (Image) |
|---|---|
| -1 | 3(-1)+5 = 2 |
| 0 | 3(0)+5 = 5 |
| 2 | 3(2)+5 = 11 |
| 5 | 3(5)+5 = 20 |
4. Par une représentation graphique
On peut placer les points du tableau de valeurs dans un repère. L'axe horizontal (celui des abscisses) représente les antécédents (x) et l'axe vertical (celui des ordonnées) représente les images (y ou f(x)). La courbe reliant tous ces points forme la représentation graphique de la fonction.
Chaque point de la courbe a pour coordonnées (antécédent ; image).
f(x) = 3x + 5
Représentation graphique de la fonction f(x) = 3x + 5
Comment déterminer l'image ou l'antécédent ?
Trouver l'image d'un nombre
Pour trouver l'image d'un nombre (par exemple, de 2) par une fonction f :
- Avec la formule : Remplace x par le nombre dans la formule de f(x) et calcule. (Ex: f(2) = 3(2) + 5 = 11)
- Avec un tableau : Cherche le nombre dans la ligne des antécédents (x) et lis l'image correspondante.
- Avec le graphique : Pars de l'antécédent sur l'axe des abscisses, monte (ou descends) jusqu'à la courbe, puis lis l'ordonnée sur l'axe des images.
Trouver l'antécédent d'un nombre
C'est l'opération inverse ! Pour trouver l'antécédent d'un nombre (par exemple, de 11) par une fonction f :
- Avec la formule : Mets la formule égale au nombre donné et résous l'équation. (Ex: 3x + 5 = 11 → 3x = 6 → x = 2)
- Avec un tableau : Cherche le nombre dans la ligne des images (f(x)) et lis l'antécédent correspondant. Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun !
- Avec le graphique : Pars de l'image sur l'axe des ordonnées, va horizontalement jusqu'à la courbe, puis lis l'abscisse sur l'axe des antécédents.
A retenir :
Résumé des notions clés
- Une fonction associe un unique nombre image à chaque antécédent.
- L'antécédent est le nombre de départ (souvent x), l'image est le résultat (souvent f(x) ou y).
- Une fonction peut être exprimée par un programme de calcul, une formule, un tableau de valeurs ou un graphique.
- Calculer l'image : remplacer x dans la formule ou lire sur le graphique/tableau.
- Calculer l'antécédent : résoudre une équation ou lire sur le graphique/tableau.
- La représentation graphique d'une fonction est un ensemble de points (x ; f(x)).