Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est un outil mathématique qui transforme un nombre en un autre. Elle permet de décrire des relations, des évolutions, ou des dépendances entre différentes quantités. Comprendre les fonctions est essentiel car elles sont utilisées pour modéliser des phénomènes réels, comme la croissance d'une population, la distance parcourue par une voiture ou l'évolution des prix. Cette fiche vous guidera à travers les principes fondamentaux des fonctions : leur définition, comment les représenter, comment calculer des images et des antécédents, et quelques cas particuliers importants.

Fonction

Une fonction est un processus mathématique qui associe à chaque nombre de départ, un et un seul nombre d'arrivée.

Variable

C'est la lettre, souvent 'x', qui représente le nombre de départ d'une fonction et peut prendre différentes valeurs.

Image

C'est le nombre d'arrivée obtenu quand on applique la fonction à un nombre de départ. Il y a toujours une seule image pour un nombre de départ.

Antécédent

C'est le nombre de départ qui, une fois transformé par la fonction, donne un nombre d'arrivée spécifique. Un nombre d'arrivée peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun.

Représentation graphique

C'est une courbe ou un ensemble de points tracés dans un repère, qui montre visuellement la relation entre les nombres de départ (abscisses) et leurs images (ordonnées).

Formule (ou expression algébrique)

C'est une écriture mathématique qui décrit comment calculer l'image d'un nombre de départ. Par exemple, f(x) = 2x + 3.

Tableau de valeurs

C'est un tableau qui liste plusieurs nombres de départ et leurs images correspondantes, pour une fonction donnée.

Qu'est-ce qu'une fonction et à quoi sert-elle ?

Une fonction peut être vue comme une machine à calculer. Vous lui donnez un nombre, et elle vous en renvoie un autre, toujours le même pour le même nombre de départ. Par exemple, si la machine est "multiplier par 2", quand vous lui donnez 5, elle renvoie 10. Si vous lui donnez 7, elle renvoie 14. Ce processus est unique : 5 ne pourra jamais donner 10 une fois et 12 une autre fois avec la même machine. C'est cette unicité de l'image qui est la clé d'une fonction.

Les fonctions sont partout autour de nous. Elles permettent de traduire en mathématiques des situations concrètes. Par exemple, le prix à payer pour des pommes dépend du poids que vous achetez : si un kilo coûte 2 euros, le prix est une fonction du poids. De même, la distance parcourue par une voiture dépend du temps qu'elle roule à une certaine vitesse. Les fonctions sont des outils puissants pour comprendre, prédire et résoudre des problèmes dans de nombreux domaines, de la physique à l'économie.

Pour désigner une fonction, on utilise souvent une lettre, comme 'f', 'g' ou 'h'. Le nombre de départ est généralement représenté par la lettre 'x'. L'image de 'x' par la fonction 'f' se note f(x), qui se lit "f de x". C'est le résultat de l'opération faite par la fonction sur 'x'. Par exemple, si la fonction f multiplie par 3, alors f(x) = 3x. Si x est 4, alors f(4) = 3 × 4 = 12. Ici, 4 est le nombre de départ (ou antécédent), et 12 est le nombre d'arrivée (ou image).

Comment représenter une fonction ?

Il existe plusieurs façons de représenter une fonction, chacune utile selon ce que l'on veut montrer. La première est la formule, ou expression algébrique. C'est une règle de calcul écrite avec des symboles mathématiques. Par exemple, pour la fonction qui élève un nombre au carré puis ajoute 1, sa formule est f(x) = x² + 1. Cette écriture est très précise et permet de calculer l'image de n'importe quel nombre. On remplace simplement 'x' par le nombre en question et on effectue les opérations.

f(x) = x^2 + 1

Une autre façon est le tableau de valeurs. Il s'agit d'une liste de quelques nombres de départ et de leurs images correspondantes. Cela donne un aperçu de la fonction pour des valeurs spécifiques. Par exemple, pour f(x) = x² + 1 :
Si x = 0, f(0) = 0² + 1 = 1.
Si x = 1, f(1) = 1² + 1 = 2.
Si x = -2, f(-2) = (-2)² + 1 = 4 + 1 = 5.
Ce tableau n'est pas complet mais il donne des exemples concrets du comportement de la fonction.

Enfin, la représentation graphique est un dessin de la fonction dans un repère. Les nombres de départ (x) sont sur l'axe horizontal (abscisses), et leurs images (f(x) ou y) sont sur l'axe vertical (ordonnées). Chaque point de la courbe a pour coordonnées (x ; f(x)). C'est une excellente manière de visualiser comment la fonction évolue. Par exemple, on peut voir si la fonction monte ou descend, si elle passe par zéro, ou si elle a des points particuliers. Attention, une courbe représente bien une fonction si et seulement si toute droite verticale ne coupe la courbe qu'en un seul point.

f(x) = x^2 + 1

Représentation graphique de f(x) = x² + 1

Calculer des images et des antécédents

Calculer l'image d'un nombre par une fonction est assez simple : il suffit de remplacer la variable 'x' dans la formule de la fonction par ce nombre, puis d'effectuer les calculs. Par exemple, si f(x) = 5x - 7 et que vous voulez l'image de 3, vous calculez f(3) = 5 × 3 - 7 = 15 - 7 = 8. Donc, l'image de 3 par la fonction f est 8. C'est une opération directe et il n'y a qu'une seule réponse possible.

Calculer un antécédent est l'opération inverse. On connaît l'image (le résultat) et on cherche le nombre de départ 'x'. Cela revient à résoudre une équation. Par exemple, si f(x) = 5x - 7 et que vous voulez trouver le ou les antécédents de 13, vous devez résoudre l'équation f(x) = 13, c'est-à-dire 5x - 7 = 13. Pour la résoudre :
5x = 13 + 7
5x = 20
x = 20 / 5
x = 4. Donc, 4 est l'antécédent de 13 par la fonction f. Il n'y en a qu'un seul dans ce cas.

C'est une erreur courante de penser qu'il n'y a qu'un seul antécédent. Un nombre peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents. Par exemple, si g(x) = x², et que vous cherchez les antécédents de 9, vous résolvez x² = 9. Les solutions sont x = 3 et x = -3. Dans ce cas, 9 a deux antécédents. Si vous cherchez les antécédents de -4, vous résolvez x² = -4. Cette équation n'a pas de solution car un carré ne peut jamais être négatif. Donc -4 n'a aucun antécédent par la fonction g.

Lire des informations sur une représentation graphique

La représentation graphique est très utile pour lire rapidement des images et des antécédents sans faire de calcul. Pour trouver l'image d'un nombre donné 'x' (sur l'axe horizontal), on part de 'x' sur cet axe, on monte (ou on descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe vertical pour lire la valeur 'y' (f(x)). Par exemple, sur la courbe de f(x) = x² + 1, si x = 2, on voit que l'image est 5. Pour x = -1, l'image est 2.

Pour trouver le ou les antécédents d'un nombre donné 'y' (sur l'axe vertical), on part de 'y' sur cet axe, on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend (ou on monte) verticalement jusqu'à l'axe horizontal pour lire la ou les valeurs de 'x'. Si la ligne horizontale coupe la courbe à plusieurs endroits, cela signifie qu'il y a plusieurs antécédents. Si elle ne coupe pas la courbe, il n'y a pas d'antécédent pour cette valeur.

Il faut être précis en lisant sur un graphique. Les valeurs obtenues sont souvent des approximations, sauf si les points tombent exactement sur des graduations. L'avantage principal est la visualisation globale du comportement de la fonction. On peut observer son sens de variation (quand elle monte ou descend), ses points les plus hauts ou les plus bas (maximums et minimums), et les points où elle coupe les axes, qui sont des informations difficiles à obtenir d'un coup d'œil avec une simple formule ou un tableau de valeurs.

Fonctions linéaires et affines : des cas particuliers importants

Les fonctions linéaires sont des fonctions très simples et très courantes. Leur formule est toujours de la forme f(x) = ax, où 'a' est un nombre quelconque qu'on appelle le coefficient directeur. Ces fonctions décrivent des situations de proportionnalité. Par exemple, si vous achetez du tissu à 5 euros le mètre, le prix total f(x) est 5x. La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine du repère (le point (0;0)). C'est une propriété facile à reconnaître.

Les fonctions affines sont une généralisation des fonctions linéaires. Leur formule est de la forme f(x) = ax + b, où 'a' est le coefficient directeur et 'b' est un autre nombre qu'on appelle l'ordonnée à l'origine. Quand x = 0, f(0) = a × 0 + b = b. Donc la courbe coupe l'axe vertical (axe des ordonnées) au point de coordonnée (0; b). Les fonctions affines représentent aussi des droites, mais elles ne passent pas forcément par l'origine. Une fonction linéaire est en fait une fonction affine particulière où b = 0.

Par exemple, la fonction qui calcule le prix d'un taxi : il y a un coût fixe de prise en charge (le 'b') et un coût par kilomètre parcouru (le 'a'). Si la prise en charge coûte 3 euros et chaque kilomètre coûte 2 euros, la fonction du prix f(x) pour x kilomètres est f(x) = 2x + 3. Ici, 2 est le coefficient directeur et 3 est l'ordonnée à l'origine. C'est une erreur fréquente de confondre "coefficient directeur" et "ordonnée à l'origine". Le coefficient directeur 'a' indique la pente de la droite, c'est-à-dire comment la valeur de f(x) change quand x augmente d'une unité. L'ordonnée à l'origine 'b' indique où la droite coupe l'axe des y.

f(x) = 2*xg(x) = 2*x + 3

Fonction linéaire f(x) = 2x (rouge) et fonction affine g(x) = 2x + 3 (bleu)

A retenir :

À retenir :

Une fonction associe un seul nombre d'arrivée (image) à chaque nombre de départ (antécédent).
On note une fonction f(x), où x est le nombre de départ et f(x) son image.
On peut représenter une fonction par une formule, un tableau de valeurs, ou une représentation graphique.
Pour calculer une image, on remplace x dans la formule et on calcule.
Pour trouver un antécédent, on résout une équation (f(x) = un nombre donné). Il peut y en avoir plusieurs ou aucun.
Graphiquement, l'image se lit en partant de l'axe des x vers la courbe puis vers l'axe des y.
Graphiquement, les antécédents se lisent en partant de l'axe des y vers la courbe puis vers l'axe des x.
Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax ; sa droite passe par l'origine.
Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b ; sa droite coupe l'axe des y en 'b'.
Le coefficient 'a' d'une fonction linéaire ou affine représente sa pente.