Quatrième
MATHS
Définition
Hypoténuse
Rappel:
L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA AC
BC AC
Réfléchissons
Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes :
ABC est un triangle équilatéral tel que AB = AC = BC = 2,5cm
AB² 6,25
BC² 6,25
AC² 6,25
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² + NO²
IJK est un triangle isocèle de sommet principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm.
IK² Text
IJ² Text
KJ² Text
IJ² = KJ²
Que remarque-t-on?
Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ?
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm.
AB² 25,5025
BC² 4,7089
AC² 20,7936
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² = NO²
TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm.
TV² 7,29
TG² 16
GV² 16
TV² = TG² = GV²
Est-ce-que cela est vrai pour tous les triangles?
Démontrons
A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c².
A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.
Comme les triangles sont identiques et que les carrés obtenus sont superposables, on en déduit que :
a² + b² = c²
On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.
• Le plus grand a une aire égale à b²
• Le plus petit a une aire égale à a²
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
• L’aire de ce carré est égale à c²
Le théorème de Pythagore
Nous avons démontré que:
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.
Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c² = a² + b² ,
on peut aussi écrire : MU² = LU² + LM² .
La racine carrée d'un nombre positif
Question 1:
Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25, alors que peut-on dire de AB ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).
Question 2:
Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15, alors que peut-on dire de MN ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche ? de la calculatrice : ?15 ? 3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ? 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).
A retenir :
Addition et soustraction de fractions
Méthode
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
- 1. On transforme leur écriture de manière à les écrire sous un même dénominateur.
- 2. On additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
Nous avons vu en cinquième comment écrire deux fractions sous un même dénominateur. Relis cette section si besoin.
Exemples
1. 3
4
34
+5
8
58
Le dénominateur commun est 8.
On obtient 6
8
68
+5
8
58
, ce qui fait 11
8
118
.
2. 3
4
34
+5
3
53
Le dénominateur commun est 12.
On obtient 9
12
912
+20
12
2012
, ce qui fait 29
12
2912
.Multiplication et division de fractions
Multiplication
Le produit de deux fractions est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs des deux fractions et pour dénominateur le produit de leurs dénominateurs.
Exemple
2
3
23
×4
5
45
=8
15
Quatrième
MATHS
Définition
Hypoténuse
Rappel:
L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA AC
BC AC
Réfléchissons
Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes :
ABC est un triangle équilatéral tel que AB = AC = BC = 2,5cm
AB² 6,25
BC² 6,25
AC² 6,25
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² + NO²
IJK est un triangle isocèle de sommet principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm.
IK² Text
IJ² Text
KJ² Text
IJ² = KJ²
Que remarque-t-on?
Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ?
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm.
AB² 25,5025
BC² 4,7089
AC² 20,7936
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² = NO²
TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm.
TV² 7,29
TG² 16
GV² 16
TV² = TG² = GV²
Est-ce-que cela est vrai pour tous les triangles?
Démontrons
A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c².
A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.
Comme les triangles sont identiques et que les carrés obtenus sont superposables, on en déduit que :
a² + b² = c²
On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.
• Le plus grand a une aire égale à b²
• Le plus petit a une aire égale à a²
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
• L’aire de ce carré est égale à c²
Le théorème de Pythagore
Nous avons démontré que:
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.
Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c² = a² + b² ,
on peut aussi écrire : MU² = LU² + LM² .
La racine carrée d'un nombre positif
Question 1:
Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25, alors que peut-on dire de AB ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).
Question 2:
Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15, alors que peut-on dire de MN ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche ? de la calculatrice : ?15 ? 3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ? 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).
A retenir :
Addition et soustraction de fractions
Méthode
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
- 1. On transforme leur écriture de manière à les écrire sous un même dénominateur.
- 2. On additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
Nous avons vu en cinquième comment écrire deux fractions sous un même dénominateur. Relis cette section si besoin.
Exemples
1. 3
4
34
+5
8
58
Le dénominateur commun est 8.
On obtient 6
8
68
+5
8
58
, ce qui fait 11
8
118
.
2. 3
4
34
+5
3
53
Le dénominateur commun est 12.
On obtient 9
12
912
+20
12
2012
, ce qui fait 29
12
2912
.Multiplication et division de fractions
Multiplication
Le produit de deux fractions est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs des deux fractions et pour dénominateur le produit de leurs dénominateurs.
Exemple
2
3
23
×4
5
45
=8
15
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