Hypoténuse
L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA AC
BC AC
Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes :
ABC est un triangle équilatéral tel que AB = AC = BC = 2,5cm
AB² 6,25
BC² 6,25
AC² 6,25
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² + NO²
IJK est un triangle isocèle de sommet principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm.
IK² Text
IJ² Text
KJ² Text
IJ² = KJ²
Que remarque-t-on?
Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ?
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm.
AB² 25,5025
BC² 4,7089
AC² 20,7936
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² = NO²
TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm.
TV² 7,29
TG² 16
GV² 16
TV² = TG² = GV²
Est-ce-que cela est vrai pour tous les triangles?
A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c².
A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.
Comme les triangles sont identiques et que les carrés obtenus sont superposables, on en déduit que :
a² + b² = c²
On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.
• Le plus grand a une aire égale à b²
• Le plus petit a une aire égale à a²
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
• L’aire de ce carré est égale à c²
Nous avons démontré que:
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.
Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c² = a² + b² ,
on peut aussi écrire : MU² = LU² + LM² .
Question 1:
Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25, alors que peut-on dire de AB ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).
Question 2:
Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15, alors que peut-on dire de MN ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche ? de la calculatrice : ?15 ? 3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ? 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
Nous avons vu en cinquième comment écrire deux fractions sous un même dénominateur. Relis cette section si besoin.
1. 3
4
34
+5
8
58
Le dénominateur commun est 8.
On obtient 6
8
68
+5
8
58
, ce qui fait 11
8
118
.
2. 3
4
34
+5
3
53
Le dénominateur commun est 12.
On obtient 9
12
912
+20
12
2012
, ce qui fait 29
12
2912
Le produit de deux fractions est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs des deux fractions et pour dénominateur le produit de leurs dénominateurs.
Exemple
2
3
23
×4
5
45
=8
15
Hypoténuse
L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA AC
BC AC
Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes :
ABC est un triangle équilatéral tel que AB = AC = BC = 2,5cm
AB² 6,25
BC² 6,25
AC² 6,25
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² + NO²
IJK est un triangle isocèle de sommet principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm.
IK² Text
IJ² Text
KJ² Text
IJ² = KJ²
Que remarque-t-on?
Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ?
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm.
AB² 25,5025
BC² 4,7089
AC² 20,7936
AB² = BC² = AC²
MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² = NO²
TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm.
TV² 7,29
TG² 16
GV² 16
TV² = TG² = GV²
Est-ce-que cela est vrai pour tous les triangles?
A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c².
A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.
Comme les triangles sont identiques et que les carrés obtenus sont superposables, on en déduit que :
a² + b² = c²
On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.
• Le plus grand a une aire égale à b²
• Le plus petit a une aire égale à a²
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
• L’aire de ce carré est égale à c²
Nous avons démontré que:
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.
Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c² = a² + b² ,
on peut aussi écrire : MU² = LU² + LM² .
Question 1:
Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25, alors que peut-on dire de AB ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).
Question 2:
Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15, alors que peut-on dire de MN ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche ? de la calculatrice : ?15 ? 3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ? 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).
Pour additionner ou soustraire deux fractions :
Nous avons vu en cinquième comment écrire deux fractions sous un même dénominateur. Relis cette section si besoin.
1. 3
4
34
+5
8
58
Le dénominateur commun est 8.
On obtient 6
8
68
+5
8
58
, ce qui fait 11
8
118
.
2. 3
4
34
+5
3
53
Le dénominateur commun est 12.
On obtient 9
12
912
+20
12
2012
, ce qui fait 29
12
2912
Le produit de deux fractions est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs des deux fractions et pour dénominateur le produit de leurs dénominateurs.
Exemple
2
3
23
×4
5
45
=8
15