Les fonctions linéaires et affines sont des concepts fondamentaux en mathématiques au collège. Elles permettent de décrire des relations simples entre deux quantités, souvent représentées par des droites. Comprendre leurs définitions, leurs représentations graphiques et leurs variations est essentiel pour la suite de ton parcours.
Lexique des fonctions Fonction affine
Une fonction f est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où 'a' et 'b' sont des nombres réels donnés et 'a' n'est pas nul. Sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas nécessairement par l'origine.
Fonction linéaire
C'est un cas particulier de la fonction affine où b = 0. Elle s'écrit f(x) = ax (avec a ≠ 0). Sa représentation graphique est une droite qui passe toujours par l'origine du repère (point (0;0)).
Fonction constante
C'est un autre cas particulier de la fonction affine où a = 0. Elle s'écrit f(x) = b. Sa représentation graphique est une droite horizontale.
Pente (ou coefficient directeur)
Le nombre 'a' dans l'expression f(x) = ax + b. Il indique l'inclinaison de la droite représentative de la fonction. Si 'a' est positif, la droite monte ; si 'a' est négatif, elle descend.
Ordonnée à l'origine
Le nombre 'b' dans l'expression f(x) = ax + b. Il représente la valeur de y lorsque x = 0, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
Qu'est-ce qu'une fonction affine ? Une fonction affine est définie par la formule f(x) = ax + b. Dans cette formule :
- 'x' est la variable, c'est le nombre dont on cherche l'image.
- 'a' est un nombre fixe appelé la pente ou le coefficient directeur. Il ne peut pas être nul pour une fonction affine.
- 'b' est un autre nombre fixe appelé l'ordonnée à l'origine.
Les cas particuliers : linéaire et constante Il existe deux cas particuliers importants de fonctions affines :
- La fonction linéaire : Si le nombre 'b' est égal à 0, la fonction s'écrit f(x) = ax. Sa représentation graphique est une droite qui passe toujours par l'origine du repère (le point (0;0)).
- La fonction constante : Si le nombre 'a' est égal à 0, la fonction s'écrit f(x) = b. Sa représentation graphique est une droite horizontale. La valeur de f(x) ne change jamais, quelle que soit la valeur de x.
Représentation graphique : la droite La représentation graphique d'une fonction affine (et donc linéaire ou constante) est toujours une droite.
- La pente 'a' détermine l'inclinaison de cette droite : plus 'a' est grand (en valeur absolue), plus la droite est raide.
- L'ordonnée à l'origine 'b' indique le point où la droite coupe l'axe vertical (l'axe des ordonnées). Ce point a pour coordonnées (0; b).
f(x) = 1.5*x + 1g(x) = -0.5*x + 2
Exemples de fonctions affines : f(x) = 1.5x + 1 (croissante) et g(x) = -0.5x + 2 (décroissante).
Variation des fonctions La variation d'une fonction affine dépend uniquement du signe de sa pente 'a' :
- Si a > 0 (positif), la fonction est strictement croissante. La droite monte de gauche à droite.
- Si a < 0 (négatif), la fonction est strictement décroissante. La droite descend de gauche à droite.
- Si a = 0, la fonction est constante. La droite est horizontale.
Résumé pour maîtriser A retenir :
- Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b et sa représentation est une droite.
- Le nombre 'a' est la pente : il indique l'inclinaison de la droite et la variation de la fonction.
- Le nombre 'b' est l'ordonnée à l'origine : c'est le point où la droite coupe l'axe des y.
- Si b = 0, la fonction est linéaire (f(x) = ax) et la droite passe par l'origine (0;0).
- Si a = 0, la fonction est constante (f(x) = b) et la droite est horizontale.
- La fonction est croissante si a > 0, décroissante si a < 0, et constante si a = 0.