Les arbres pondérés sont un outil graphique fondamental en probabilités. Ils permettent de visualiser les enchaînements d'événements et de calculer les probabilités d'intersection et conditionnelles de manière intuitive. Maîtriser leur construction et leur interprétation est essentiel pour résoudre des problèmes complexes impliquant des probabilités successives ou dépendantes.
Probabilité conditionnelle
La probabilité qu'un événement B se réalise sachant qu'un événement A est déjà réalisé, notée PA(B).
Cardinal (d'un ensemble)
Le nombre d'éléments d'un ensemble fini. Noté Card(A) pour l'ensemble A.
Événement
Un sous-ensemble de l'univers Ω, représentant un résultat possible d'une expérience aléatoire.
Univers (Ω)
L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
Rappels sur les Probabilités et le Cardinal
Dans une expérience aléatoire comportant un nombre fini d'issues, si toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement A est le rapport du nombre d'issues favorables à A sur le nombre total d'issues possibles. Le cardinal d'un ensemble fini A, noté Card(A), représente le nombre d'éléments de cet ensemble.
La probabilité de B sachant A, notée PA(B), est définie pour P(A) ≠ 0. En situation d'équiprobabilité, elle peut être calculée comme le rapport du cardinal de l'intersection de A et B sur le cardinal de A.
Construction et Règles de l'Arbre Pondéré
Un arbre pondéré est une représentation graphique des probabilités. Il est particulièrement utile pour les expériences aléatoires en plusieurs étapes ou impliquant des probabilités conditionnelles. Chaque branche de l'arbre est associée à une probabilité.
Les règles fondamentales pour manipuler un arbre pondéré sont les suivantes :
- Règle des nœuds : La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est toujours égale à 1.
- Règle des chemins (règle de multiplication) : La probabilité qu'une séquence d'événements (un chemin) se réalise est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Cela permet de calculer la probabilité d'intersection d'événements.
Exemple d'arbre de probabilités
Loi des Probabilités Totales
La loi des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant selon les réalisations d'un autre événement A et de son complémentaire A̅. Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet événement.
En utilisant la règle de multiplication, cette formule peut s'écrire :
Indépendance d'Événements
Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Cela se traduit par une égalité des probabilités conditionnelles :
De manière équivalente, l'indépendance de A et B implique que la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités individuelles :
A retenir :
- Les arbres pondérés visualisent les probabilités d'événements successifs ou conditionnels.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours 1.
- La probabilité d'un chemin (intersection d'événements) est le produit des probabilités le long de ce chemin.
- La probabilité d'un événement final (loi des probabilités totales) est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.
- Deux événements A et B sont indépendants si PA(B) = P(B) ou P(A ∩ B) = P(A) × P(B).