1ère année
Les suites numériques
Definition
Somme de termes consécutifs d'une suite numérique:
- Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs est la demi somme des termes extrêmes multiplié par n, S = n+1 x (U0 + Un)/2
- exemple: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 5 x (2 + 10) / 2
- Pour une suite géométrique, la somme de termes consécutifs est S = U0 x (1 - q^n+1)/(1 - q)
- exemple: 1 + 3 + 9 + 27 = 40 = 1 x (1 - 3^4)/(1 - 3)
Sens de variation d'une suite
La suite (Un) est croissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 ? Un
La suite (Un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 > Un
La suite (Un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 ? Un
La suite (Un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 < Un
Si pour tout entier naturel n, Un+1 – Un ? 0, alors la suite (Un) est croissante.
Si pour tout entier naturel n, Un+1 – Un ? 0, alors la suite (Un) est décroissante
Suites majorées, minorées, bornées
La suite (Un) est majorée s’il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, Un ? M.
La suite (Un) est minorée s’il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, Un ? m.
La suite (Un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Limite d’une suite
- On dit qu'une suite (Un) admet une limite égale à +? quand n tend vers +? si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d'un certain rang p
- On note lim(Un) = +? ou Un—> +?
- On dit qu'une suite (Un) admet une limite égale à -? quand n tend vers +? si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d'un certain rang p
- On note lim(Un) = -? ou Un —> -?
- Dire que la suite (Un) admet pour limite le réel L signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]L ? r ;L + r[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang p.
- On note lim(Un) = L et on dit que la suite (Un) est convergente vers L.
Limite d'une suite géométrique:
- Si 0 < q < 1 alors la suite (Un) converge et vers 0
- Si q = 1 alors la suite (Un) est constante et égale à U0
- Si q > 1 alors la suite (Un) admet une limite infinie avec :
lim (n? +?) Un = ?? si U0 < 0
et lim (n? +?) Un = +? si U0 > 0
1ère année
Les suites numériques
Definition
Somme de termes consécutifs d'une suite numérique:
- Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs est la demi somme des termes extrêmes multiplié par n, S = n+1 x (U0 + Un)/2
- exemple: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 5 x (2 + 10) / 2
- Pour une suite géométrique, la somme de termes consécutifs est S = U0 x (1 - q^n+1)/(1 - q)
- exemple: 1 + 3 + 9 + 27 = 40 = 1 x (1 - 3^4)/(1 - 3)
Sens de variation d'une suite
La suite (Un) est croissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 ? Un
La suite (Un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 > Un
La suite (Un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 ? Un
La suite (Un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, Un+1 < Un
Si pour tout entier naturel n, Un+1 – Un ? 0, alors la suite (Un) est croissante.
Si pour tout entier naturel n, Un+1 – Un ? 0, alors la suite (Un) est décroissante
Suites majorées, minorées, bornées
La suite (Un) est majorée s’il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, Un ? M.
La suite (Un) est minorée s’il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, Un ? m.
La suite (Un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Limite d’une suite
- On dit qu'une suite (Un) admet une limite égale à +? quand n tend vers +? si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d'un certain rang p
- On note lim(Un) = +? ou Un—> +?
- On dit qu'une suite (Un) admet une limite égale à -? quand n tend vers +? si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d'un certain rang p
- On note lim(Un) = -? ou Un —> -?
- Dire que la suite (Un) admet pour limite le réel L signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]L ? r ;L + r[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang p.
- On note lim(Un) = L et on dit que la suite (Un) est convergente vers L.
Limite d'une suite géométrique:
- Si 0 < q < 1 alors la suite (Un) converge et vers 0
- Si q = 1 alors la suite (Un) est constante et égale à U0
- Si q > 1 alors la suite (Un) admet une limite infinie avec :
lim (n? +?) Un = ?? si U0 < 0
et lim (n? +?) Un = +? si U0 > 0
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