Un plan affine est un ensemble de points dans l'espace. Il est défini par un point et une direction donnée par deux vecteurs qui ne sont pas alignés.
Plan affine
Ensemble de points dans l'espace défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires (non alignés) u et v. Tout point M du plan vérifie que le vecteur AM est une combinaison de u et v.
Vecteurs non colinéaires
Deux vecteurs sont dits non colinéaires s'ils ne sont pas parallèles et ne peuvent pas être écrits l'un comme un multiple de l'autre. Ils définissent une direction de plan.
Plans parallèles
Deux plans sont parallèles s'ils ont la même direction. Cela signifie que leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Vecteur normal
Un vecteur est dit normal à un plan s'il est perpendiculaire à tous les vecteurs contenus dans ce plan. Il est très utile pour écrire l'équation cartésienne du plan.
Équation cartésienne d'un plan
Une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 qui est vérifiée par les coordonnées (x, y, z) de tous les points appartenant au plan.
1. Définition et direction d'un plan affine 
Un plan affine est un ensemble de points dans l'espace. Pour le définir, on a besoin d'un point de départ, par exemple A, et de deux vecteurs u et v. Ces deux vecteurs ne doivent pas être colinéaires (ils ne doivent pas être alignés).
Si M est un point du plan, alors le vecteur AM peut s'écrire comme une combinaison des vecteurs u et v. Cela signifie que AM = s ⋅ u + t ⋅ v, où s et t sont des nombres réels.
Si M est un point du plan, alors le vecteur AM peut s'écrire comme une combinaison des vecteurs u et v. Cela signifie que AM = s ⋅ u + t ⋅ v, où s et t sont des nombres réels.
La direction d'un plan est l'ensemble de tous les vecteurs que l'on peut former en reliant deux points de ce plan. On dit que deux plans sont parallèles s'ils ont la même direction. Ils sont alors soit confondus (le même plan), soit strictement parallèles (ils ne se rencontrent jamais).
2. Paramétrage d'un plan 
Pour décrire précisément un plan, on peut utiliser des équations paramétriques. Si on connaît un point M₀(x₀, y₀, z₀) qui appartient au plan, et deux vecteurs u(α, β, γ) et v(α', β', γ') qui donnent la direction du plan (ils ne sont pas colinéaires), alors tout point M(x, y, z) du plan peut être écrit ainsi :
Équations paramétriques d'un plan
Ici, s et t sont des nombres réels. On les appelle les paramètres. Chaque couple de valeurs (s, t) donne un point unique du plan.
3. Équation cartésienne d'un plan 
Un plan peut aussi être décrit par une seule équation, appelée équation cartésienne. Cette équation est de la forme :
Équation cartésienne d'un plan
Dans cette équation, les nombres a, b et c sont les coordonnées d'un vecteur très important appelé vecteur normal au plan. Ce vecteur, noté n(a, b, c), est perpendiculaire à tous les vecteurs qui se trouvent dans le plan. Le nombre d est une constante.
Pour trouver cette équation, on utilise souvent le fait que le vecteur normal n est orthogonal (perpendiculaire) à tout vecteur AM du plan, où A est un point connu du plan et M un point quelconque du plan. Le produit scalaire de n et AM est alors nul.
A retenir :
- Un plan affine est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
- Sa direction est l'ensemble des vecteurs formés par deux points du plan.
- Deux plans sont parallèles s'ils ont la même direction.
- Le paramétrage d'un plan utilise un point et deux vecteurs directeurs avec deux paramètres (s et t).
- L'équation cartésienne d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0.
- Le vecteur n(a, b, c) est le vecteur normal au plan, c'est-à-dire qu'il est perpendiculaire au plan.