Les nombres réels

Ensemble des nombres réels (ℝ)

L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, regroupe tous les nombres que l'on peut placer sur une droite graduée. Cela inclut les nombres entiers (positifs et négatifs), les nombres décimaux (qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule), les nombres rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) et les nombres irrationnels (qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction et ont une infinité de chiffres après la virgule sans répétition, comme π ou √2).

Intervalle

Un intervalle est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres réels ℝ, représenté par un segment ou une demi-droite sur une droite numérique. Il est défini par des bornes et indique tous les nombres réels compris entre ces bornes, incluses ou non.

Inégalité

Une inégalité est une relation mathématique qui établit une comparaison entre deux expressions numériques ou algébriques. Elle utilise des symboles tels que < (inférieur à), > (supérieur à), ≤ (inférieur ou égal à), ou ≥ (supérieur ou égal à).

Les nombres réels et leurs sous-ensembles

Les nombres réels sont la base de la plupart des mathématiques que tu étudies au lycée. Ils englobent tous les nombres que tu connais et que tu peux imaginer placer sur une ligne continue.

Il existe plusieurs familles de nombres réels, emboîtées les unes dans les autres :

Les entiers naturels (ℕ) : Ce sont les nombres pour compter : 0, 1, 2, 3...
Les entiers relatifs (ℤ) : Ce sont les entiers naturels et leurs opposés : ..., -2, -1, 0, 1, 2,...
Les nombres décimaux (𝔻) : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 0,5 ou -3,25. Ils peuvent aussi s'écrire sous la forme a/10ⁿ où a est un entier relatif et n un entier naturel.
Les nombres rationnels (ℚ) : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction a/b, où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul. Par exemple, 1/3 ou -7/2. Tous les décimaux sont rationnels.
Les nombres irrationnels : Ce sont les nombres réels qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Ils ont une infinité de chiffres après la virgule sans aucune période. Les exemples les plus connus sont π (environ 3,14159...) et √2 (environ 1,41421...).

L'ensemble des nombres réels (ℝ) contient toutes ces catégories de nombres. Tu peux les visualiser sur une droite numérique infinie, où chaque point représente un nombre réel unique.

Les intervalles

Les intervalles sont des notations très utiles pour désigner un ensemble de nombres réels compris entre deux valeurs. On utilise des crochets pour indiquer si les bornes sont incluses ou exclues.

Intervalle fermé : [a ; b] signifie que tous les nombres x tels que a ≤ x ≤ b. Les bornes a et b sont incluses.
Intervalle ouvert : ]a ; b[ signifie que tous les nombres x tels que a < x < b. Les bornes a et b sont exclues.
Intervalle semi-ouvert/fermé : [a ; b[ (a inclus, b exclu) ou ]a ; b] (a exclu, b inclus).
Intervalle infini : On utilise les symboles +∞ (plus l'infini) et -∞ (moins l'infini). Ils sont toujours exclus, donc avec des crochets ouverts. Par exemple, [a ; +∞[ (tous les nombres supérieurs ou égaux à a) ou ]-∞ ; b[ (tous les nombres strictement inférieurs à b).

Les inégalités

Les inégalités permettent de comparer des nombres ou des expressions. Elles sont fondamentales pour résoudre des problèmes et définir des intervalles.

Les symboles des inégalités sont :

< : strictement inférieur à
> : strictement supérieur à
≤ : inférieur ou égal à
≥ : supérieur ou égal à

Propriétés importantes :

Addition/Soustraction : Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité ne change pas le sens de l'inégalité. Si a < b, alors a + c < b + c.
Multiplication/Division par un nombre positif : Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif ne change pas le sens de l'inégalité. Si a < b et c > 0, alors ac < bc.
Multiplication/Division par un nombre négatif : Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité. Si a < b et c < 0, alors ac > bc.

Ces propriétés sont cruciales lors de la résolution d'inéquations, où l'objectif est de trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie.

Intersection et Réunion d'intervalles

Lorsque l'on travaille avec plusieurs intervalles, on peut les combiner de deux manières principales : l'intersection et la réunion.

Intersection (symbole ∩) : L'intersection de deux intervalles I et J, notée I ∩ J, est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à la fois à I et à J. C'est la partie commune aux deux intervalles. Par exemple, si I = [0 ; 5] et J = [3 ; 7], alors I ∩ J = [3 ; 5].
Réunion (symbole ∪) : La réunion de deux intervalles I et J, notée I ∪ J, est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à I ou à J (ou aux deux). C'est l'ensemble de tous les nombres contenus dans l'un ou l'autre des intervalles. Par exemple, si I = [0 ; 5] et J = [3 ; 7], alors I ∪ J = [0 ; 7]. Si I = [0 ; 2] et J = [5 ; 7], alors I ∪ J = [0 ; 2] ∪ [5 ; 7] (qui ne peut pas être simplifié en un seul intervalle).

Il est souvent utile de visualiser ces opérations sur une droite numérique pour mieux comprendre le résultat.

A retenir :

Résumé des notions clés

Les nombres réels (ℝ) incluent tous les nombres de la droite numérique, des entiers aux irrationnels.
Un intervalle est un ensemble de nombres réels définis par des bornes, qui peuvent être incluses (crochet fermé) ou exclues (crochet ouvert).
Les inégalités (<, >, ≤, ≥) comparent des nombres ou expressions.
Multiplier/diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens.
L'intersection (∩) d'intervalles donne les nombres communs.
La réunion (∪) d'intervalles rassemble tous les nombres de chaque intervalle.
La maîtrise de ces concepts est essentielle pour la résolution d'équations, d'inéquations et l'étude des fonctions.