- Les nombres entiers naturels (ℕ) : 0, 1, 2, 3... Ils servent à compter.
- Les nombres entiers relatifs (ℤ) : ..., -2, -1, 0, 1, 2... Ce sont les entiers naturels et leurs opposés.
- Les nombres décimaux (𝔻) : Ils ont un nombre fini de chiffres après la virgule (ex: 2,5 ; -0,75).
- Les nombres rationnels (ℚ) : Ceux qui peuvent s'écrire comme une fraction a⁄b où a est un entier relatif et b un entier relatif non nul (ex: 1⁄3 = 0,333...). Un nombre décimal est toujours rationnel.
- Les nombres irrationnels : Ceux qui ne peuvent pas s'écrire comme une fraction. Leur écriture décimale est infinie et non périodique (ex: π ≈ 3,14159... ; √2 ≈ 1,41421...).
- Les nombres réels (ℝ) : C'est l'ensemble qui contient tous les nombres rationnels et irrationnels. C'est l'ensemble que nous étudions le plus souvent au lycée.
Ensemble des nombres réels (ℝ)
L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut représenter sur une droite graduée. Cela inclut les nombres entiers (positifs et négatifs), les nombres décimaux (qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule), les nombres rationnels (qui peuvent s'écrire comme une fraction de deux entiers) et les nombres irrationnels (qui ne peuvent pas s'écrire comme une fraction, comme π ou √2). En résumé, ℝ contient tous les nombres qui ne sont pas complexes.
Intervalle
Un intervalle est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres réels, représentant tous les nombres compris entre deux bornes. Les bornes peuvent être incluses ou exclues de l'intervalle, ce qui est indiqué par des crochets : un crochet tourné vers le nombre ([ ou ]) signifie que le nombre est inclus, tandis qu'un crochet tourné vers l'extérieur (] ou [) signifie qu'il est exclu. Les symboles -∞ (moins l'infini) et +∞ (plus l'infini) sont toujours exclus.
Inéquation
Une inéquation est une inégalité mathématique où figure une inconnue (souvent notée x). Contrairement à une équation, qui cherche une ou des valeurs précises pour l'inconnue, une inéquation cherche un ensemble de valeurs qui satisfont l'inégalité. Les solutions d'une inéquation sont généralement exprimées sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.
Intersection et Réunion d'intervalles
L'intersection de deux intervalles A et B, notée A ∩ B, est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à la fois à A ET à B. La réunion de deux intervalles A et B, notée A ∪ B, est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à A OU à B (ou aux deux).
Les différents types de nombres
Comprendre les nombres réels, c'est d'abord savoir les situer parmi les autres ensembles de nombres. Imagine une poupée gigogne :
Représentation sur la droite numérique
Chaque nombre réel peut être représenté par un point unique sur une droite graduée infinie, souvent appelée droite numérique. Cette droite s'étend de -∞ à +∞. C'est un concept fondamental pour visualiser les relations entre les nombres et comprendre les intervalles.
Les intervalles
Les intervalles sont des portions de la droite des nombres réels. Ils sont définis par leurs bornes et l'inclusion ou l'exclusion de ces bornes. Voici les principaux types :
- Intervalle fermé : [a ; b] signifie que tous les nombres x tels que a ≤ x ≤ b sont inclus. Les bornes a et b sont incluses.
- Intervalle ouvert : ]a ; b[ signifie que tous les nombres x tels que a < x < b sont inclus. Les bornes a et b sont exclues.
- Intervalle semi-ouvert/semi-fermé : [a ; b[ (a inclus, b exclu) ou ]a ; b] (a exclu, b inclus).
- Intervalle infini : Il utilise les symboles -∞ ou +∞. Par exemple, [a ; +∞[ inclut tous les nombres x ≥ a. ]-∞ ; b[ inclut tous les nombres x < b. Les symboles infinis sont toujours exclus (crochet tourné vers l'extérieur).
Intersection et Réunion d'intervalles
Ces opérations sont cruciales pour combiner des conditions sur les nombres réels.
- Intersection (∩) : L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui sont dans les DEUX intervalles. C'est la partie commune. Par exemple, si A = [1 ; 5] et B = [3 ; 7], alors A ∩ B = [3 ; 5]. Si les intervalles n'ont pas de partie commune, leur intersection est l'ensemble vide (∅).
- Réunion (∪) : La réunion de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui sont dans l'UN OU L'AUTRE des intervalles (ou les deux). C'est l'ensemble formé par la
fusion
des deux intervalles. Par exemple, si A = [1 ; 5] et B = [3 ; 7], alors A ∪ B = [1 ; 7]. Si A = [1 ; 2] et B = [3 ; 4], A ∪ B reste [1 ; 2] ∪ [3 ; 4], car il n'y a pas de continuité entre eux.
Résolution d'inéquations
Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres réels x qui la vérifient. Les règles de résolution sont similaires à celles des équations, à une exception près :
Les solutions d'une inéquation sont toujours données sous forme d'intervalle. Par exemple, si la résolution donne x ≥ 4, l'ensemble des solutions est [4 ; +∞[. Si elle donne x < -1, l'ensemble des solutions est ]-∞ ; -1[.
- Addition/Soustraction : On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer le sens de l'inégalité.
- Multiplication/Division par un nombre positif : On peut multiplier ou diviser par le même nombre positif des deux côtés sans changer le sens de l'inégalité.
- Multiplication/Division par un nombre négatif : ATTENTION ! Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
Exemple : -2x < 6 devient x > 6⁄-2, donc x > -3.
Les solutions d'une inéquation sont toujours données sous forme d'intervalle. Par exemple, si la résolution donne x ≥ 4, l'ensemble des solutions est [4 ; +∞[. Si elle donne x < -1, l'ensemble des solutions est ]-∞ ; -1[.
A retenir :
Résumé des notions clés
- L'ensemble des nombres réels (ℝ) inclut tous les nombres rationnels (fractions) et irrationnels (comme π ou √2).
- Chaque nombre réel correspond à un point sur la droite numérique.
- Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ, délimité par des bornes qui peuvent être incluses ([ ]) ou exclues (] [).
- L'intersection (∩) de deux intervalles donne les nombres communs aux deux.
- La réunion (∪) de deux intervalles donne tous les nombres appartenant à l'un ou l'autre.
- Résoudre une inéquation consiste à trouver un ensemble de solutions, exprimé sous forme d'intervalle.
- Attention à changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif dans une inéquation.