Afin de comprendre les nombres rationnels, il est essentiel de les définir comme des fractions, d'explorer leurs propriétés et de saisir leur position au sein des autres ensembles de nombres tels que les décimaux et les entiers. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme p/q, où p est un entier relatif (p ∈ Z) et q est un entier relatif non nul (q ∈ Z*).
Nombre Décimal (D)
Nombre pouvant s'écrire sous la forme a/10^n, où a est un entier relatif et n un entier naturel. Il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.
Nombre Rationnel (Q)
Nombre pouvant s'écrire sous la forme p/q, où p est un entier relatif et q est un entier relatif non nul.
Nombre Irrationnel
Nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme une fraction p/q. Sa représentation décimale est infinie et non périodique.
Ensemble des entiers naturels (N)
Ensemble des nombres entiers positifs (0, 1, 2, 3, ...).
Ensemble des entiers relatifs (Z)
Ensemble des nombres entiers positifs, négatifs et zéro (... -2, -1, 0, 1, 2 ...).
Les Nombres Décimaux (D) Les nombres décimaux constituent un ensemble de nombres intermédiaires. Un nombre est décimal s'il peut être écrit sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10^n). Cela implique que sa partie décimale est finie. Par exemple, 3,12 peut s'écrire 312/100 ou 312/10^2. L'ensemble des nombres décimaux (D) inclut les ensembles des entiers naturels (N) et des entiers relatifs (Z). En effet, tout entier peut être exprimé comme un décimal avec une partie décimale nulle (ex: 4 = 4,0 = 40/10). Ainsi, on a l'inclusion N ⊂ Z ⊂ D.
Les Nombres Rationnels (Q) Les nombres rationnels sont définis comme tout nombre pouvant être exprimé sous la forme d'une fraction p/q, où p est un entier relatif (numérateur) et q est un entier relatif non nul (dénominateur). Cette définition englobe les nombres positifs et négatifs. La forme fractionnaire est fondamentale :
Forme d'un nombre rationnel
Les nombres entiers et les nombres décimaux sont des cas particuliers de nombres rationnels. Par exemple, -4 peut s'écrire -4/1, et 0,5 peut s'écrire 1/2. Cela conduit à l'inclusion fondamentale N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q. Il est important de noter que l'inverse n'est pas toujours vrai : un nombre rationnel n'est pas nécessairement un décimal (ex: 1/3 = 0,333... n'est pas décimal) ni un entier.
️ Les Nombres Irrationnels et l'Ensemble des Réels (R) Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous la forme d'une fraction p/q. Leur développement décimal est infini et non périodique. L'exemple classique est √2 ≈ 1,41421356... ou π ≈ 3,14159265... L'ensemble des nombres réels (R) est le plus grand ensemble de nombres étudié au lycée, englobant à la fois les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Il contient tous les ensembles de nombres vus précédemment. La hiérarchie complète des ensembles de nombres est donc N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Cette inclusion est stricte, ce qui signifie que R n'est pas inclus dans Q, Q n'est pas inclus dans D, etc.
A retenir :
- Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction p/q, où p est un entier relatif et q est un entier relatif non nul.
- Les nombres rationnels incluent les entiers naturels (N), les entiers relatifs (Z) et les nombres décimaux (D), formant la chaîne d'inclusion N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.
- Les nombres décimaux sont des rationnels dont la partie décimale est finie, car leur dénominateur peut être exprimé comme une puissance de 10.
- Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction ; leur développement décimal est infini et non périodique.
- L'ensemble des nombres réels (R) regroupe tous les nombres rationnels et irrationnels, complétant ainsi la hiérarchie N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.