Intervalle
Un intervalle est un sous-ensemble de nombres réels qui "va" d'un nombre à un autre, sans interruption. Il représente tous les nombres entre deux bornes données. Les bornes peuvent être incluses ou exclues de l'intervalle, ce qui est indiqué par des crochets [ ] ou des parenthèses ( ).
Union d'intervalles (∪)
L'union de deux intervalles A et B est l'ensemble de tous les nombres qui appartiennent à A, ou qui appartiennent à B, ou qui appartiennent aux deux. On la note A ∪ B. C'est comme regrouper tous les éléments des deux intervalles.
Intersection d'intervalles (∩)
L'intersection de deux intervalles A et B est l'ensemble de tous les nombres qui appartiennent à la fois à A ET à B. On la note A ∩ B. Ce sont les nombres "communs" aux deux intervalles.
Ensemble vide (∅)
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément. Il est utilisé quand il n'y a aucun nombre commun entre deux intervalles lors d'une intersection, ou quand un intervalle est mal défini (par exemple, [5; 2]).
Comprendre les Intervalles
Un intervalle est une portion de la droite numérique. Il est défini par deux bornes, un début et une fin. Ces bornes peuvent être des nombres finis ou l'infini (+∞ et -∞). La façon dont les bornes sont incluses ou exclues est cruciale et indiquée par les crochets :
- Crochet fermé [ ] : Le nombre est inclus dans l'intervalle. Par exemple, [2; 5] signifie tous les nombres de 2 à 5, y compris 2 et 5.
- Crochet ouvert ( ) ou ] [ : Le nombre est exclu de l'intervalle. Par exemple, ]2; 5[ (ou (2; 5)) signifie tous les nombres entre 2 et 5, mais sans inclure 2 ni 5.
- L'infini : Les crochets sont toujours ouverts vers l'infini. Par exemple, ]-∞; 3] signifie tous les nombres inférieurs ou égaux à 3.
Voici quelques exemples de notation et leur signification en inégalités :
- [a; b] : a ≤ x ≤ b
- ]a; b[ : a < x < b
- [a; b[ : a ≤ x < b
- ]a; b] : a < x ≤ b
- [a; +∞[ : x ≥ a
- ]-∞; b] : x ≤ b
- ]-∞; +∞[ : C'est l'ensemble de tous les nombres réels, noté souvent ℝ.
Les Opérations sur les Intervalles
Les deux opérations principales sur les intervalles sont l'union (regrouper) et l'intersection (chercher le commun). Il est souvent très utile de représenter les intervalles sur une droite numérique pour visualiser ces opérations.
L'Union (∪)
L'union de deux intervalles A et B (A ∪ B) est l'ensemble de tous les nombres qui se trouvent dans A ou dans B. Imagine que tu as deux rubans sur une ligne : l'union est la totalité de la partie de la ligne couverte par au moins un des rubans.
Exemple : Soit A = [1; 5] et B = [3; 7]. L'union A ∪ B représente tous les nombres de 1 à 7. Donc, A ∪ B = [1; 7].
Exemple avec des intervalles disjoints : Soit C = [-2; 0] et D = [3; 6]. Ces intervalles ne se touchent pas. Leur union est simplement écrite C ∪ D = [-2; 0] ∪ [3; 6]. On ne peut pas la simplifier en un seul intervalle.
L'Intersection (∩)
L'intersection de deux intervalles A et B (A ∩ B) est l'ensemble des nombres qui sont présents dans les DEUX intervalles simultanément. En reprenant l'image des rubans, l'intersection est la partie de la ligne où les deux rubans se chevauchent.
Exemple : Reprenons A = [1; 5] et B = [3; 7]. L'intersection A ∩ B correspond aux nombres qui sont à la fois supérieurs ou égaux à 1 ET inférieurs ou égaux à 5 ET supérieurs ou égaux à 3 ET inférieurs ou égaux à 7. Les nombres communs sont ceux entre 3 et 5. Donc, A ∩ B = [3; 5].
Exemple avec des intervalles disjoints : Soit C = [-2; 0] et D = [3; 6]. Ces intervalles ne se chevauchent pas. Il n'y a aucun nombre commun entre eux. Leur intersection est l'ensemble vide, noté ∅. Donc, C ∩ D = ∅.
Conseil : Pour éviter les erreurs, dessine toujours les intervalles sur une droite numérique ! Place les bornes, indique les crochets, puis colore les intervalles pour mieux visualiser l'union et l'intersection.
A retenir :
Résumé des notions clés
- Un intervalle représente une partie continue de la droite numérique.
- Les crochets [ ] incluent les bornes, les parenthèses ( ) ou ] [ les excluent. L'infini est toujours exclu.
- L'union (∪) regroupe tous les nombres des intervalles considérés.
- L'intersection (∩) identifie les nombres communs aux intervalles.
- Si deux intervalles n'ont aucun élément en commun lors d'une intersection, le résultat est l'ensemble vide (∅).
- La visualisation sur une droite numérique est la méthode la plus efficace pour effectuer ces opérations.
- La maîtrise des intervalles est fondamentale pour résoudre des inéquations et travailler avec des fonctions.