Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui, à chaque valeur d'une première variable, associe une unique valeur d'une seconde variable.
Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
Image
L'image d'une valeur par une fonction est la valeur associée par la fonction à cette valeur.
Courbe représentative
La courbe représentative d'une fonction est l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)) où x parcourt le domaine de définition de la fonction.
Les Différents Types de Fonctions
Il existe plusieurs types de fonctions en mathématiques, chacune avec ses propres caractéristiques. Les fonctions linéaires, quadratiques, exponentielles et logarithmiques sont quelques exemples de fonctions courantes rencontrées au lycée.
Fonctions Linéaires et Affines
Les fonctions linéaires sont de la forme f(x) = ax et les fonctions affines de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes. La représentation graphique de ces fonctions est une ligne droite dans le plan cartésien.
Fonctions Quadratiques
Les fonctions quadratiques sont des fonctions polynomiales de degré 2 de la forme f(x) = ax² + bx + c. Leur courbe représentative est une parabole. Cette parabole est orientée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0.
Fonctions Exponentielles et Logarithmiques
Les fonctions exponentielles sont des fonctions de la forme f(x) = a^x, où a est une base positive. Les fonctions logarithmiques sont l'inverse des fonctions exponentielles et sont représentées par la formule f(x) = log_a(x), où a est encore la base.
Notion de Continuité et Dérivabilité
Une fonction est dite continue sur un intervalle si elle ne présente pas de rupture dans cet intervalle. Elle est dérivable en un point si elle possède une tangente en ce point, autrement dit, si elle admet une dérivée en ce point.
Le Rôle des Fonctions en Mathématiques
Les fonctions permettent de modéliser des relations entre différentes quantités. Elles sont essentielles en mathématiques pures et appliquées, y compris dans la physique, l'économie, et d'autres sciences. Elles offrent un cadre pour comprendre les variations et les relations complexes entre les variables.
A retenir :
Les fonctions sont un concept fondamental en mathématiques, représentant une relation unique entre deux variables. Elles sont classifiées en différents types—linéaires, quadratiques, exponentielles, et logarithmiques—chacune ayant des représentations graphiques distinctes. Comprendre leur continuité et dérivabilité est crucial pour étudier leurs comportements dans divers contextes. Essentielles tant dans les mathématiques théoriques que pratiques, elles fournissent un outil puissant pour analyser et résoudre des problèmes complexes.
