Les ensembles de nombres

Les nombres entiers naturels (ℕ)

C'est le premier ensemble de nombres que l'on rencontre. Il contient tous les nombres qui permettent de compter des objets entiers. On le représente par la lettre ℕ.

Exemples : 0, 1, 2, 3, 10, 1000. L'addition et la multiplication de deux nombres entiers naturels donnent toujours un nombre entier naturel. Pour la soustraction et la division, ce n'est pas toujours le cas (ex: 3 - 5 = -2, 3 / 2 = 1.5).

Les nombres entiers relatifs (ℤ)

Pour résoudre des problèmes comme 3 - 5, les nombres entiers naturels ne suffisent plus. On introduit alors les nombres entiers relatifs, notés ℤ. Cet ensemble inclut les nombres entiers naturels et leurs opposés négatifs.

Exemples : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... L'addition, la soustraction et la multiplication de deux nombres entiers relatifs donnent toujours un nombre entier relatif. La division, en revanche, peut donner un nombre avec des décimales.

Les nombres décimaux (𝔻)

Quand on effectue une division (par exemple 1 divisé par 2), le résultat n'est pas toujours un nombre entier. Les nombres décimaux, notés 𝔻, sont des nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Une autre façon de les définir est de dire qu'ils peuvent être écrits sous la forme d'une fraction a/10ⁿ, où a est un entier relatif et n est un entier naturel.

Exemples : 0.5 (qui est 1/2 ou 5/10), -3.25 (qui est -325/100), 7 (qui est 7/1 ou 70/10). Tous les nombres entiers (naturels et relatifs) sont aussi des nombres décimaux.

Les nombres rationnels (ℚ)

Il existe des nombres qui ont des décimales infinies mais périodiques, et qui ne sont pas des décimaux (par exemple 1/3 = 0.333...). Ces nombres, ainsi que tous les précédents, forment l'ensemble des nombres rationnels, noté ℚ. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul.

Exemples : 1/3, -5/7, 0.333..., 2 (car 2/1), 0.75 (car 3/4). Toutes les opérations (sauf la division par zéro) sur les nombres rationnels donnent des nombres rationnels.

Les nombres irrationnels

Tous les nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Ce sont les nombres irrationnels. Ils ont un nombre infini de chiffres après la virgule, sans aucune période. On ne leur attribue pas de symbole spécifique comme ℕ ou ℤ.

Exemples célèbres :

• π (Pi) : environ 3.14159... C'est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre.
• √2 (racine carrée de 2) : environ 1.41421... C'est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.
• e (nombre de Néper) : environ 2.71828... Une constante importante en analyse.

Les nombres réels (ℝ)

L'ensemble de tous les nombres que l'on peut placer sur une droite numérique (la droite des réels) est appelé l'ensemble des nombres réels, noté ℝ. Il regroupe tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels. C'est l'ensemble le plus couramment utilisé au lycée.

Exemples : tous les nombres mentionnés précédemment, ainsi que tout point sur une droite graduée.

Les relations d'inclusion entre les ensembles

Ces ensembles ne sont pas isolés. Ils s'emboîtent les uns dans les autres :

• Tout nombre entier naturel est aussi un entier relatif.
• Tout entier relatif est aussi un nombre décimal.
• Tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel.
• Tout nombre rationnel est aussi un nombre réel.

On peut représenter cette inclusion par la chaîne suivante : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.