Bienvenue dans cette fiche de révision sur les droites ! Une droite est une ligne infinie, droite et sans épaisseur. Elle est fondamentale en géométrie et peut être définie de plusieurs manières. Comprendre comment les représenter est essentiel pour résoudre des problèmes.
Droite affine
C'est l'ensemble de tous les points M tels que le vecteur AM est colinéaire à un vecteur directeur donné u, partant d'un point A.
Vecteur directeur
Un vecteur non nul qui indique la direction d'une droite. Tous les vecteurs qui lui sont colinéaires sont aussi des vecteurs directeurs de cette droite.
Droites parallèles
Deux droites sont dites parallèles si elles ont la même direction. Elles ne se rencontrent jamais ou sont confondues.
Colinéaire
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction. L'un est alors un multiple de l'autre.
Barycentre
Un point qui représente une moyenne pondérée de plusieurs points. Il est utilisé pour définir une droite de manière alternative.
1. La droite affine et ses représentations 
Une droite affine est définie par un point A et un vecteur directeur non nul u. Tous les points M de cette droite vérifient que le vecteur AM est colinéaire au vecteur u. Cela signifie que AM = t * u, où t est un nombre réel.
Représentation paramétrique
Si un point A a pour coordonnées (xA, yA, zA) et un vecteur directeur u a pour coordonnées (α, β, γ), alors tout point M(x, y, z) de la droite peut s'écrire sous forme paramétrique :
où t est un nombre réel. Chaque valeur de t donne un point différent sur la droite.
Représentation cartésienne (dans le plan)
Dans le plan, une droite peut aussi être décrite par une équation cartésienne de la forme :
où a, b et c sont des nombres réels, et a et b ne sont pas tous les deux nuls. Le vecteur (-b, a) est un vecteur directeur de cette droite.
2. La notion de parallélisme 
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même direction. Cela signifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si deux droites sont parallèles, elles ne se coupent jamais, à moins qu'elles ne soient la même droite (confondues).
Par un point donné, il passe une seule droite ayant une direction spécifique.
3. Droite géométrique et barycentres 
Une droite peut être vue comme l'ensemble des points M qui sont alignés avec deux points distincts A et B. Cela signifie que A, B et M sont sur la même ligne.
De manière alternative, une droite passant par deux points distincts A et B est aussi l'ensemble des barycentres des points A et B, avec des coefficients α et β dont la somme n'est pas nulle (α + β ≠ 0).
A retenir :
- Une droite affine est définie par un point et un vecteur directeur.
- La représentation paramétrique utilise un point, un vecteur directeur et un paramètre t.
- L'équation cartésienne dans le plan est ax + by + c = 0, avec (-b, a) comme vecteur directeur.
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Une droite peut être vue comme l'ensemble des points alignés ou comme le lieu des barycentres de deux points.