Les fonctions affines et linéaires sont des concepts importants en mathématiques lorsqu'on parle des fonctions. Une fonction affine se présente sous la forme f(x) = ax + b. Elle est composée de deux paramètres : a, le coefficient directeur, et b, l'ordonnée à l'origine. Quand une fonction affine a pour b = 0, elle devient une fonction linéaire, simplifiée à f(x) = ax. Cela signifie que son graphique passe par l'origine du repère.
Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui, à chaque élément d'un ensemble (appelé ensemble de départ), associe un unique élément d'un autre ensemble (appelé ensemble d'arrivée). Par exemple, f(x) = 2x + 3 est une fonction qui associe à chaque nombre x son double plus trois.
Antécédent
L'antécédent d'un nombre y par une fonction est le nombre x tel que f(x) = y. Par exemple, si f(x) = 2x et on cherche l'antécédent de 4, alors x = 2 car f(2) = 2×2 = 4.
Image
L'image d'un nombre x par une fonction f est le résultat de l'application de cette fonction à x, c'est-à-dire f(x). Si f(x) = x^2, l'image de 3 est 9.
Fonction Affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Le graphique d'une fonction affine est une droite.
Les fonctions affines et linéaires
Antécédent et image
En étudiant les fonctions, il est crucial de comprendre les notions d'antécédent et d'image. Si vous avez une fonction f et que l'on vous donne un nombre y, l'antécédent est le nombre x tel que f(x) = y. Cela signifie que pour chaque y donné, on peut trouver un x pour lequel la fonction égale y. L'image, en revanche, est le résultat des valeurs x sur la fonction. Par exemple, pour f(x) = 3x + 2, l'image de 1 est 5, car f(1) = 3×1 + 2 = 5.
Représentation graphique
Le graphique d'une fonction affine est une droite. Pour dessiner cette droite, il suffit de connaître deux points. Par exemple, pour la fonction f(x) = 2x + 3, on peut calculer les images de plusieurs points : pour x = 0 (l'ordonnée à l'origine, f(0) = 3) et pour x = 1 (f(1) = 5). Ces points permettent de tracer votre droite.
Calculer simplement
Calculer l'image d'un nombre revient à remplacer x dans la fonction. Pour une fonction f(x) = -3x + 1, l'image de 2 est f(2) = -3×2 + 1 = -5. Pour trouver un antécédent supposé, il suffit de résoudre l'équation f(x) = y en remplaçant y par la valeur donnée.
A retenir :
- Une fonction associe un unique y à chaque x.
- Les fonctions affines ont la forme f(x) = ax + b.
- Les fonctions linéaires ont b = 0.
- L'image est f(x) ; l'antécédent est x qui donne f(x)=y.
- Le graphique d'une fonction affine est toujours une droite.
- Pour calculer une image, on remplace x par un nombre.