La fonction carré, notée f(x) = x², est l'une des fonctions polynomiales les plus simples et les plus étudiées en mathématiques. Sa courbe, une parabole, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une caractéristique importante de cette fonction est qu'elle ne prend que des valeurs positives ou nulles pour des arguments réels, car le carré de tout nombre réel est toujours positif. La fonction carré est définie pour tout x appartenant à l'ensemble des réels R, son domaine. Son image, l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre, est l'ensemble des réels positifs ou nuls, R⁺.

D'autre part, la fonction cube, notée g(x) = x³, est un autre exemple de fonction polynomiale de base. Cette fonction est symétrique par rapport à l'origine, ce qui implique qu'elle possède une symétrie impaire ; en d'autres termes, f(-x) = -f(x). Contrairement à la fonction carré, la fonction cube peut prendre des valeurs positives et négatives. Elle est définie également sur R, et son image est également R, car pour chaque valeur réelle de x, il existe une valeur réelle correspondante de x³.

La fonction carré, par sa courbe paraboloïde, a un minimum global en x = 0 avec f(0) = 0. Elle est croissante sur l'intervalle [0, +∞) et décroissante sur l'intervalle (-∞, 0]. De ce fait, la courbe ne remonte jamais après avoir atteint son minimum, c'est une fonction convexe.