Le discriminant, noté Δ (delta), est un outil essentiel en mathématiques pour résoudre les équations du second degré. Il permet de savoir combien de solutions réelles une équation de la forme ax² + bx + c = 0 possède, et d'aider à les calculer.
Équation du second degré
Une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0. Le terme 'quadratique' est un synonyme.
Discriminant (Δ)
Une valeur calculée à partir des coefficients a, b, c d'une équation du second degré, qui détermine le nombre de solutions réelles de cette équation.
Racines (ou solutions)
Les valeurs de x qui vérifient l'équation ax² + bx + c = 0. Elles correspondent aux points où la courbe de la fonction coupe l'axe des abscisses.
Parabole
La forme de la courbe représentative d'une fonction du second degré (f(x) = ax² + bx + c).
Comprendre l'équation du second degré 
Une équation du second degré s'écrit toujours sous la forme générale ax² + bx + c = 0. Les lettres a, b et c sont des nombres connus. Le but est de trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'équation vraie. Le nombre 'a' ne doit jamais être égal à zéro, sinon ce ne serait plus une équation du second degré.
Le calcul du discriminant (Δ) 
Pour trouver les solutions, la première étape est de calculer le discriminant Δ. Sa formule est la suivante :
Il faut bien identifier les coefficients a, b et c dans ton équation avant de faire le calcul.
Interpréter le discriminant et trouver les solutions 
La valeur du discriminant Δ nous indique combien de solutions réelles l'équation possède. Il y a trois cas possibles :
Cas 1 : Δ > 0 (deux solutions distinctes) 
Si le discriminant est positif (Δ > 0), l'équation a deux solutions réelles différentes. Ces solutions sont appelées x₁ et x₂. Elles sont calculées avec les formules : x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
Cas 2 : Δ = 0 (une solution unique) 
Si le discriminant est égal à zéro (Δ = 0), l'équation a une seule solution réelle. On dit que c'est une solution double, notée x₀. Sa formule est : x₀ = -b / (2a).
Cas 3 : Δ < 0 (aucune solution réelle) 
Si le discriminant est négatif (Δ < 0), l'équation n'a aucune solution réelle. Cela signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Interprétation graphique du discriminant
L'image ci-dessus montre comment la courbe d'une fonction du second degré (une parabole) se comporte selon la valeur du discriminant. Elle peut couper l'axe des x en deux points (Δ > 0), en un seul point (Δ = 0), ou ne pas le couper du tout (Δ < 0).
A retenir :
- Une équation du second degré est de la forme ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0).
- Le discriminant (Δ) se calcule par la formule : Δ = b² - 4ac.
- Si Δ > 0 : il y a deux solutions réelles distinctes, x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
- Si Δ = 0 : il y a une seule solution réelle (double), x₀ = -b / (2a).
- Si Δ < 0 : il n'y a aucune solution réelle.
- Le discriminant est la clé pour savoir combien de fois la parabole coupe l'axe des abscisses.