Introduction aux équations différentielles

Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées. Le but est de trouver cette fonction inconnue.

Ordre d'une équation différentielle

L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre le plus élevé de la dérivée présente dans l'équation. Par exemple, une équation impliquant f'(x) est d'ordre 1, et une impliquant f''(x) est d'ordre 2.

Solution d'une équation différentielle

Une solution d'une équation différentielle est une fonction qui, lorsqu'elle est substituée dans l'équation avec ses dérivées, rend l'égalité vraie.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Imagine que tu veux décrire comment une quantité évolue au cours du temps. Par exemple, la vitesse d'une voiture, la température d'un objet qui refroidit, ou la population d'une espèce. Souvent, la vitesse de changement de cette quantité (sa dérivée) est liée à la quantité elle-même. C'est exactement ce qu'une équation différentielle permet de modéliser. Elle ne te donne pas directement la fonction qui décrit cette quantité, mais une relation entre la fonction et ses dérivées. Ton travail consiste alors à «remonter» le fil pour trouver la fonction d'origine.

Les équations différentielles du premier ordre

Au lycée, tu rencontreras principalement des équations différentielles du premier ordre, c'est-à-dire celles qui ne font intervenir que la fonction inconnue y et sa dérivée première y'. La forme la plus simple est l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Nous allons nous concentrer sur la forme y' = ay + b.

Résolution de y' = ay + b

La résolution de l'équation différentielle y' = ay + b (où a et b sont des constantes réelles, et a non nul) se fait en deux étapes. Il est important de comprendre chaque étape pour bien maîtriser la méthode.

Première étape : Trouver la solution générale de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée est y' = ay. C'est la partie de l'équation sans le terme constant b. Les solutions de cette équation sont de la forme y(x) = C * e^(ax), où C est une constante réelle quelconque. Tu peux vérifier cela en dérivant : y'(x) = C * a * e^(ax) = a * (C * e^(ax)) = ay(x). C'est la solution générale de l'équation homogène.

y(x) = C \mathrm{e}^{ax}

Solution de l'équation homogène y'=ay

Deuxième étape : Trouver une solution particulière de l'équation complète

Pour trouver une solution de l'équation complète y' = ay + b, on cherche souvent une solution simple. Dans le cas de cette équation, une solution particulière évidente est une fonction constante. Si y(x) = k (une constante), alors y'(x) = 0. En substituant dans l'équation :
0 = ak + b
ak = -b
k = -b/a
Donc, une solution particulière est y_p(x) = -b/a. C'est la solution particulière.

y_p(x) = -\frac{b}{a}

Solution particulière constante

La solution générale de l'équation complète

La solution générale de l'équation différentielle y' = ay + b est la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière trouvée. Elle est donc de la forme :
y(x) = C * e^(ax) - b/a
C est une constante réelle qui peut être déterminée si on connaît une condition initiale (par exemple, la valeur de y en un point donné).

y(x) = C \mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}

Solution générale de l'équation différentielle y'=ay+b

Exemple d'application

Résolvons l'équation différentielle y' = 2y - 6.
Ici, a = 2 et b = -6.
1. Solution de l'équation homogène y' = 2y : y_h(x) = C * e^(2x).
2. Solution particulière : y_p(x) = -(-6)/2 = 6/2 = 3.
3. Solution générale : y(x) = C * e^(2x) + 3.

Si on nous donne une condition initiale, par exemple y(0) = 5, on peut trouver C :
y(0) = C * e^(2*0) + 3 = 5
C * e^0 + 3 = 5
C * 1 + 3 = 5
C = 2
La solution unique est alors y(x) = 2 * e^(2x) + 3.

f(x) = 2*exp(2*x) + 3

Exemple de solution avec y(0)=5

A retenir :

Résumé des notions clés

Une équation différentielle lie une fonction à ses dérivées.
Au lycée, on se concentre sur les équations du premier ordre, comme y' = ay + b.
La solution générale de y' = ay est de la forme y(x) = C * e^(ax).
Une solution particulière de y' = ay + b est y_p(x) = -b/a.
La solution générale de y' = ay + b est la somme de ces deux parties : y(x) = C * e^(ax) - b/a.
La constante C est déterminée par une condition initiale.