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Post-Bac
5

GEOMETRIE - 5

Mathématiques

Définition

Transformation
Définir une transformation c’est : • Préciser un certain nombre d’éléments géométriques particuliers (point, droite, cercle…) • Préciser, éventuellement, certaines grandeurs caractéristiques (comme un rapport de réduction par exemple, un angle de rotation…). • Décrire le procédé de construction de l’image d’une figure ou d’un point quelconque. • En s’appuyant sur les notions géométriques connues des élèves
Isométrie
Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les longueurs. (translation, rotation symétrie centrale, symétrie axiale Par définition, une isométrie conserve les longueurs.mais elle conserve également toujours : • L’alignement • Si 3 points sont alignés alors leurs images sont 3 points alignés • Le parallélisme • Si 2 droites sont parallèles alors leurs images sont deux droites parallèles • La perpendicularité • Si 2 droites sont perpendiculaires alors leurs images sont deux droites perpendiculaires • Les mesures des angles • Les milieux • L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image
Homothétie
Deux figures homothétiques sont une réduction ou un agrandissement l’une de l’autre. Si le rapport de l’homothétie est négatif, alors la figure image est retournée par rapport à la figure d’origine. Remarque : Les homothéties ne sont pas des isométries : elles ne conservent pas les longueurs, ni les aires ni les volumes. Propriétés : ? Si [??????????] est l’image de [????????] par un agrandissement ou une réduction de rapport ???? alors, ??????????= ????????????. ? Si F’ est l’image de la figure F par par un agrandissement ou une réduction de rapport ???? alors, ???????????????? ????’ = ???????????????????????? ???? . ? Si ????? est l’image du solide ???? par par un agrandissement ou une réduction de rapport ???? alors, ???????????????????????? ?????= ???????????????????????????????? ???? .
Transformation du plan
Une transformation du plan est une application du plan dans le plan telle que : tout point du plan est l’image d’un seul point du plan. Reformulations : • On a une correspondance 1 à 1 : • Tout point a une image unique ; • Tout point a un unique antécédent. • Tout point du plan possède un unique antécédent par une transformation. • Une transformation est une application bijective du plan dans le plan. • Une transformation est une bijection du plan.

Cartes mentales

Transformation - Exemple - Symétrie centrale

Eléments nécessaires pour définir la transformation :• Un point : le centre de la symétrie.

Une description possible du procédé :

• Si ???? désigne le centre de la symétrie et si ???? est un point quelconque distinct de ????, le symétrique ????’ de ???? par rapport à ???? est le point tel que ???? soit le milieu du segment [????????’].

• Le point ???? est sa propre image.

Pour retrouver l’antécédent d’un point

• Il suffit d’appliquer le même procédé que pour la construction de l’image !


Transformations - Contre exemple - Projection orthogonale

Eléments nécessaires pour définir la projection :• Une droite : le support de la projection

Une description possible du procédé :• Si (????) désigne le support de la projection et si ????est un point quelconque n’appartenant pas à (????), on construit l’image ????’ de ???? par intersection :

• de la droite (????)

• et de l’unique perpendiculaire à (????) passant par ????

• Tout point de la droite (????) est son unique image :

• Tout point de (????) est dit invariant .



Post-Bac
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GEOMETRIE - 5

Mathématiques

Définition

Transformation
Définir une transformation c’est : • Préciser un certain nombre d’éléments géométriques particuliers (point, droite, cercle…) • Préciser, éventuellement, certaines grandeurs caractéristiques (comme un rapport de réduction par exemple, un angle de rotation…). • Décrire le procédé de construction de l’image d’une figure ou d’un point quelconque. • En s’appuyant sur les notions géométriques connues des élèves
Isométrie
Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les longueurs. (translation, rotation symétrie centrale, symétrie axiale Par définition, une isométrie conserve les longueurs.mais elle conserve également toujours : • L’alignement • Si 3 points sont alignés alors leurs images sont 3 points alignés • Le parallélisme • Si 2 droites sont parallèles alors leurs images sont deux droites parallèles • La perpendicularité • Si 2 droites sont perpendiculaires alors leurs images sont deux droites perpendiculaires • Les mesures des angles • Les milieux • L’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image
Homothétie
Deux figures homothétiques sont une réduction ou un agrandissement l’une de l’autre. Si le rapport de l’homothétie est négatif, alors la figure image est retournée par rapport à la figure d’origine. Remarque : Les homothéties ne sont pas des isométries : elles ne conservent pas les longueurs, ni les aires ni les volumes. Propriétés : ? Si [??????????] est l’image de [????????] par un agrandissement ou une réduction de rapport ???? alors, ??????????= ????????????. ? Si F’ est l’image de la figure F par par un agrandissement ou une réduction de rapport ???? alors, ???????????????? ????’ = ???????????????????????? ???? . ? Si ????? est l’image du solide ???? par par un agrandissement ou une réduction de rapport ???? alors, ???????????????????????? ?????= ???????????????????????????????? ???? .
Transformation du plan
Une transformation du plan est une application du plan dans le plan telle que : tout point du plan est l’image d’un seul point du plan. Reformulations : • On a une correspondance 1 à 1 : • Tout point a une image unique ; • Tout point a un unique antécédent. • Tout point du plan possède un unique antécédent par une transformation. • Une transformation est une application bijective du plan dans le plan. • Une transformation est une bijection du plan.

Cartes mentales

Transformation - Exemple - Symétrie centrale

Eléments nécessaires pour définir la transformation :• Un point : le centre de la symétrie.

Une description possible du procédé :

• Si ???? désigne le centre de la symétrie et si ???? est un point quelconque distinct de ????, le symétrique ????’ de ???? par rapport à ???? est le point tel que ???? soit le milieu du segment [????????’].

• Le point ???? est sa propre image.

Pour retrouver l’antécédent d’un point

• Il suffit d’appliquer le même procédé que pour la construction de l’image !


Transformations - Contre exemple - Projection orthogonale

Eléments nécessaires pour définir la projection :• Une droite : le support de la projection

Une description possible du procédé :• Si (????) désigne le support de la projection et si ????est un point quelconque n’appartenant pas à (????), on construit l’image ????’ de ???? par intersection :

• de la droite (????)

• et de l’unique perpendiculaire à (????) passant par ????

• Tout point de la droite (????) est son unique image :

• Tout point de (????) est dit invariant .