Factoriser une expression littérale

Définition

Expression littérale

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres. Par exemple, 3x + 5 ou a(b + c).

Factoriser

Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit (une multiplication) de facteurs. C'est l'opération inverse de développer. Par exemple, transformer 3x + 6 en 3(x + 2).

Facteur commun

Dans une somme ou une différence, le facteur commun est un terme qui apparaît dans plusieurs parties de l'expression. Par exemple, dans 3x + 3y, le facteur commun est 3.

Identités remarquables

Ce sont des égalités qui permettent de factoriser ou de développer rapidement certaines expressions. En 3ème, il y en a trois à connaître par cœur.

Méthode 1: Chercher un facteur commun

Qu'est-ce qu'un facteur commun et pourquoi le chercher ?

La première méthode, et la plus importante, pour factoriser une expression est de trouver un facteur commun. Imagine que tu as une somme ou une différence comme A × B + A × C ou A × B - A × C. Tu peux voir que le terme A apparaît dans les deux parties. A est le facteur commun. L'idée est de 'sortir' ce facteur commun et de le multiplier par une parenthèse qui contiendra le reste de l'expression. C'est l'application de la propriété de distributivité, mais dans l'autre sens :

A \times B + A \times C = A \times (B + C)

Ou encore :

A \times B - A \times C = A \times (B - C)

Comment trouver le facteur commun ?

Regarde attentivement chaque terme de l'expression. Y a-t-il un nombre ou une lettre (ou une parenthèse !) qui est multiplié dans plusieurs termes ?
Décompose les nombres. Si tu as 6x + 9, 6 peut être vu comme 3 × 2 et 9 comme 3 × 3. Le facteur commun est 3.
Décompose les lettres et parenthèses. Si tu as x² + 3x, x² c'est x × x. Le facteur commun est x. Si tu as 5(x+1) + y(x+1), le facteur commun est la parenthèse (x+1).

Exemples concrets :

Exemple 1 : Factoriser 10x + 15
On remarque que 10 = 5 × 2 et 15 = 5 × 3.
Donc 10x + 15 = 5 × 2x + 5 × 3 = 5(2x + 3).
Exemple 2 : Factoriser 7y - 7z
Le facteur commun est 7.
Donc 7y - 7z = 7(y - z).
Exemple 3 : Factoriser 3x² + 6x
3x² = 3 × x × x et 6x = 3 × 2 × x.
Le facteur commun est 3x.
Donc 3x² + 6x = 3x(x + 2).
Exemple 4 : Factoriser (x+2)(x+5) + (x+2)(3x-1)
Le facteur commun est la parenthèse (x+2).
Donc (x+2)(x+5) + (x+2)(3x-1) = (x+2)[(x+5) + (3x-1)]
En simplifiant l'intérieur des crochets : (x+2)[x+5+3x-1] = (x+2)(4x+4)
On peut encore factoriser 4x+4 par 4 : (x+2)4(x+1) ou 4(x+2)(x+1).

Méthode 2: Utiliser les identités remarquables

Parfois, une expression ne semble pas avoir de facteur commun évident, mais elle a une forme particulière qui correspond à une des trois identités remarquables. Les reconnaître te permettra de factoriser très rapidement.

Les trois identités remarquables à connaître par cœur :

La forme (a+b)² :
Si tu vois une expression de la forme a² + 2ab + b², tu peux la factoriser en (a + b)².
La forme (a-b)² :
Si tu vois une expression de la forme a² - 2ab + b², tu peux la factoriser en (a - b)².
La forme (a-b)(a+b) :
Si tu vois une expression de la forme a² - b², tu peux la factoriser en (a - b)(a + b).

Comment les reconnaître et les utiliser ?

Pour a² + 2ab + b² et a² - 2ab + b² :
Cherche d'abord deux termes qui sont des carrés (comme x², 9 (qui est 3²), 4y² (qui est (2y)²), etc.).
Ensuite, vérifie si le terme du milieu correspond à 2ab (avec le bon signe).

Exemple : Factoriser x² + 6x + 9
On remarque x² (c'est a² avec a=x) et 9 (c'est b² avec b=3).
Vérifions le terme du milieu : 2ab = 2 × x × 3 = 6x. Cela correspond !
Donc x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Pour a² - b² :
C'est la plus simple à repérer car c'est une différence de deux carrés. Il n'y a que deux termes, et ils doivent être des carrés.

Exemple : Factoriser x² - 25
On remarque x² (c'est a² avec a=x) et 25 (c'est b² avec b=5). C'est bien une différence de deux carrés.
Donc x² - 25 = (x - 5)(x + 5).
Exemple : Factoriser 49 - 16y²
49 c'est 7² et 16y² c'est (4y)².
Donc 49 - 16y² = (7 - 4y)(7 + 4y).

Conseils supplémentaires

Toujours essayer de chercher le facteur commun en premier ! C'est la méthode la plus générale.
Si tu ne trouves pas de facteur commun, regarde si l'expression correspond à une identité remarquable.
N'oublie pas de simplifier l'expression à l'intérieur des parenthèses après avoir factorisé.
La factorisation peut parfois être une étape dans un problème plus grand, comme la résolution d'équations.
Entraîne-toi régulièrement ! Plus tu feras d'exercices, plus tu reconnaîtras rapidement les formes à factoriser.

A retenir :

Résumé des notions clés pour factoriser :

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit.
Méthode 1 : Chercher un facteur commun. C'est le terme (nombre, lettre ou parenthèse) qui est présent dans chaque partie de l'expression. On l'écrit une fois devant une parenthèse.
Méthode 2 : Utiliser les identités remarquables.
- a² + 2ab + b² = (a + b)²
- a² - 2ab + b² = (a - b)²
- a² - b² = (a - b)(a + b)
Priorité : Toujours chercher le facteur commun d'abord.
Vérification : Tu peux toujours 'développer' ta réponse pour voir si tu retombes sur l'expression de départ.