Les fonctions du second degré, aussi appelées polynômes de degré 2, sont des outils mathématiques essentiels. Cette fiche t'apprendra à les factoriser et à déterminer leur signe grâce à des tableaux, en fonction de leurs racines et du coefficient 'a'.
Fonction du second degré
Une fonction mathématique de la forme f(x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole.
Discriminant (Δ)
Un nombre calculé à partir des coefficients a, b, c d'une fonction du second degré, noté Δ (delta). Il permet de savoir combien de racines réelles la fonction possède.
Racine d'une fonction
Une valeur de x pour laquelle la fonction f(x) est égale à zéro. On dit aussi "solution de l'équation f(x) = 0".
Factorisation
L'action d'écrire une expression mathématique sous la forme d'un produit de facteurs. Pour une fonction du second degré, cela aide à trouver ses racines et son signe.
Tableau de signe
Un tableau qui résume le signe (positif, négatif ou nul) d'une fonction sur différents intervalles de valeurs de x.
Qu'est-ce qu'une fonction du second degré ? 
Une fonction du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax2 + bx + c. Ici, a, b et c sont des nombres connus, et a ne doit jamais être égal à zéro. La courbe de cette fonction est toujours une parabole.
Le rôle du discriminant (Δ) 
Pour trouver les racines d'une fonction du second degré et la factoriser, on calcule d'abord le discriminant, noté Δ. C'est un nombre très important qui nous dit combien de racines réelles il y a.
Cas 1 : Deux racines distinctes (Δ > 0) 
Si le discriminant Δ est strictement positif (Δ > 0), la fonction a deux racines réelles différentes, appelées x1 et x2.
La fonction peut alors être factorisée sous la forme f(x) = a(x - x1)(x - x2). Pour le tableau de signe, la fonction est du signe de a à l'extérieur des racines (]-&infty;; x1[ et ]x2; +&infty;[), et du signe opposé à a entre les racines (]x1; x2[). Aux racines x1 et x2, la fonction est nulle.
Cas 2 : Une racine double (Δ = 0) 
Si le discriminant Δ est égal à zéro (Δ = 0), la fonction a une seule racine réelle, appelée racine double x0.
La fonction peut être factorisée sous la forme f(x) = a(x - x0)2. Pour le tableau de signe, la fonction est toujours du signe de a, sauf en x0 où elle est nulle.
Cas 3 : Aucune racine réelle (Δ < 0) 
Si le discriminant Δ est strictement négatif (Δ < 0), la fonction n'a aucune racine réelle. Elle ne peut pas être factorisée sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré avec des nombres réels. Pour le tableau de signe, la fonction est toujours du signe de a. Elle ne s'annule jamais.
Synthèse visuelle des signes et paraboles 
Le comportement du signe d'une fonction du second degré est directement lié à la forme de sa parabole et à la position de ses racines par rapport à l'axe des abscisses.
Tableau récapitulatif des signes et des formes de paraboles
A retenir :
- Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax2 + bx + c.
- Le discriminant Δ = b2 - 4ac détermine le nombre de racines réelles.
- Si Δ > 0, il y a deux racines x1, x2. Factorisation : a(x - x1)(x - x2). Signe : signe de a à l'extérieur des racines, signe de -a entre les racines.
- Si Δ = 0, il y a une racine double x0. Factorisation : a(x - x0)2. Signe : toujours le signe de a.
- Si Δ < 0, il n'y a pas de racine réelle. Pas de factorisation réelle. Signe : toujours le signe de a.
- Le coefficient a indique l'ouverture de la parabole : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.