Un polynôme du second degré est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés, et a est toujours différent de zéro. Sa représentation graphique est une parabole.
Polynôme du second degré
Une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Le terme 'second degré' vient du fait que la puissance la plus élevée de x est 2.
Discriminant (Δ)
Un nombre calculé à partir des coefficients a, b, c (Δ = b² - 4ac) qui permet de déterminer le nombre de solutions d'une équation du second degré.
Racine d'un polynôme
Une valeur de x pour laquelle f(x) = 0. Ce sont les points où la parabole coupe l'axe des abscisses.
Factorisation
Écrire un polynôme sous la forme d'un produit de facteurs. Pour un polynôme du second degré, cela dépend du discriminant.
Tableau de signe
Un tableau qui résume le signe de f(x) (positif ou négatif) sur différents intervalles de x, en fonction des racines du polynôme.
Comprendre le polynôme du second degré
La fonction du second degré est fondamentale en mathématiques. Sa courbe représentative est une parabole. La forme de cette parabole (ouverte vers le haut ou vers le bas) dépend du signe du coefficient a. Si a est positif, la parabole est ouverte vers le haut. Si a est négatif, elle est ouverte vers le bas.
f(x) = x^2 - 3g(x) = -x^2 + 3
Exemples de paraboles (a>0 en bleu, a<0 en orange)
Résoudre une équation du second degré (f(x) = 0)
Pour trouver les valeurs de x qui annulent le polynôme (c'est-à-dire les racines), on utilise le discriminant, noté Δ (delta). Il se calcule avec les coefficients a, b et c de la fonction f(x) = ax² + bx + c.
Selon la valeur de Δ, il y a trois cas possibles :
- Si Δ > 0 : L'équation a deux solutions distinctes (deux racines).
x₁ = (-b - √Δ) / (2a)
x₂ = (-b + √Δ) / (2a) - Si Δ = 0 : L'équation a une seule solution (une racine double).
x₀ = -b / (2a) - Si Δ < 0 : L'équation n'a aucune solution réelle.
Factoriser un polynôme du second degré
La factorisation permet d'écrire le polynôme sous une forme multiplicative. Elle dépend aussi du discriminant :
- Si Δ > 0 : f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
- Si Δ = 0 : f(x) = a(x - x₀)²
- Si Δ < 0 : Le polynôme ne peut pas être factorisé dans les nombres réels.
Étudier le signe d'un polynôme du second degré
Pour savoir quand f(x) est positif ou négatif, on utilise un tableau de signe. Le signe de f(x) est déterminé par le signe de a et la position des racines.
- Si Δ > 0 (deux racines x₁ et x₂) :
Le polynôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. - Si Δ = 0 (une racine double x₀) :
Le polynôme est toujours du signe de a, sauf en x₀ où il est nul. - Si Δ < 0 (aucune racine) :
Le polynôme est toujours du signe de a sur tout l'ensemble des nombres réels.
Exercices : Mettre en pratique
Pour chaque exercice, tu devras suivre ces étapes :
- 1. Résoudre f(x) = 0 : Calcule le discriminant Δ, puis les racines si elles existent.
- 2. Factoriser le polynôme : Utilise les racines trouvées pour écrire f(x) sous forme factorisée.
- 3. Étudier le signe de la fonction : Construis un tableau de signe en plaçant les racines et en déterminant le signe de f(x) sur chaque intervalle, en te basant sur le signe de a.
A retenir :
En résumé
- Un polynôme du second degré est de la forme f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0).
- Le discriminant Δ = b² - 4ac est essentiel pour la résolution et la factorisation.
- Si Δ > 0 : Deux racines distinctes, factorisation a(x-x₁)(x-x₂), signe de 'a' à l'extérieur des racines.
- Si Δ = 0 : Une racine double, factorisation a(x-x₀)², signe de 'a' partout sauf à la racine.
- Si Δ < 0 : Aucune racine réelle, pas de factorisation réelle, signe de 'a' partout.
- La représentation graphique est une parabole.
- Les exercices demandent de maîtriser ces trois étapes : résolution, factorisation et étude du signe.