C'est la méthode la plus simple pour développer. Quand tu as une multiplication d'un nombre (ou d'une lettre) par une parenthèse, tu dois multiplier ce nombre par chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.
Imagine que le nombre devant la parenthèse est un facteur que tu distribues à tout le monde à l'intérieur.
Définition
Développer une expression littérale
Développer une expression littérale, c'est transformer un produit (une multiplication) en une somme ou une différence (une addition ou une soustraction). Autrement dit, c'est « enlever les parenthèses » en distribuant les termes.
Expression littérale
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres. Par exemple, 3x + 7 ou (a+b)(a-b).
Terme
Dans une expression, un terme est une partie séparée par des signes '+' ou '-'. Par exemple, dans 3x + 7, '3x' est un terme et '7' est un autre terme.
La distributivité simple
Exemple 1 : Avec un nombre positif
Si tu as
Cela donne
3 × (x + 5), tu dois multiplier 3 par x ET 3 par 5. Cela donne
3 × x + 3 × 5, ce qui simplifie en 3x + 15.Exemple 2 : Avec un nombre négatif
Attention aux signes ! Si tu as
Cela donne
-2 × (y - 4), tu multiplies -2 par y ET -2 par -4. Cela donne
-2 × y + (-2) × (-4), ce qui simplifie en -2y + 8. Rappelle-toi que multiplier deux nombres négatifs donne un résultat positif.
La double distributivité
Quand tu dois multiplier deux parenthèses entre elles, par exemple
(a + b) × (c + d), tu dois distribuer chaque terme de la première parenthèse à chaque terme de la seconde parenthèse. C'est un peu comme faire quatre petites multiplications.Comment faire ?
Prends le premier terme de la première parenthèse (ici 'a') et multiplie-le par chaque terme de la deuxième parenthèse (par 'c' puis par 'd').
Puis prends le deuxième terme de la première parenthèse (ici 'b') et multiplie-le aussi par chaque terme de la deuxième parenthèse (par 'c' puis par 'd').
Puis prends le deuxième terme de la première parenthèse (ici 'b') et multiplie-le aussi par chaque terme de la deuxième parenthèse (par 'c' puis par 'd').
Exemple :
Développons
1. Multiplie x par x :
2. Multiplie x par -2 :
3. Multiplie 3 par x :
4. Multiplie 3 par -2 :
Maintenant, additionne tous ces résultats :
Enfin, simplifie en regroupant les termes semblables :
(x + 3)(x - 2) :1. Multiplie x par x :
x × x = x²2. Multiplie x par -2 :
x × (-2) = -2x3. Multiplie 3 par x :
3 × x = 3x4. Multiplie 3 par -2 :
3 × (-2) = -6Maintenant, additionne tous ces résultats :
x² - 2x + 3x - 6.Enfin, simplifie en regroupant les termes semblables :
x² + x - 6.
Pièges à éviter
- Les signes : C'est la source la plus fréquente d'erreurs. Fais très attention à la règle des signes (+ par - donne -, - par - donne +, etc.).
- Oublier de distribuer : N'oublie pas de multiplier le facteur par TOUS les termes à l'intérieur des parenthèses, pas seulement le premier.
- Ne pas simplifier : Après avoir développé, pense toujours à regrouper et à simplifier les termes semblables (les x ensemble, les nombres ensemble, les x² ensemble...).
- Le signe moins devant une parenthèse : Si tu as
-(x + 5), c'est comme avoir-1 × (x + 5). Donc, distribue le -1 à chaque terme :-1 × x + (-1) × 5 = -x - 5. Tous les signes à l'intérieur de la parenthèse changent !
Utilisation des identités remarquables (pour aller plus vite)
En 3ème, tu vas aussi apprendre des formules de développement qui te permettent d'aller plus vite quand tu rencontres des formes spécifiques. Ce sont les identités remarquables. Les connaître et les reconnaître te fera gagner un temps précieux !
- Carré d'une somme :
(a + b)² = a² + 2ab + b² - Carré d'une différence :
(a - b)² = a² - 2ab + b² - Produit d'une somme par une différence :
(a + b)(a - b) = a² - b²
Ces formules sont des cas particuliers de la double distributivité, mais elles sont tellement fréquentes qu'il faut les mémoriser !
A retenir :
Résumé des notions clés
- Développer = transformer une multiplication en une addition/soustraction (enlever les parenthèses).
- Distributivité simple :
k(a+b) = ka + kb. Multiplier le facteur externe par chaque terme interne. - Double distributivité :
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Multiplier chaque terme de la 1ère parenthèse par chaque terme de la 2ème. - Attention aux signes négatifs ! Ils changent tout lors de la distribution.
- Toujours simplifier l'expression finale en regroupant les termes semblables.
- Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer certaines expressions spécifiques.