Les fonctions polynômes de degré 2 sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreux domaines de la physique, de l'ingénierie et de l'économie. Comprendre leurs propriétés est essentiel pour résoudre des problèmes variés.
Qu'est-ce qu'une fonction polynôme de degré 2 ?
Fonction polynôme de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 (ou fonction quadratique) est une fonction $f$ qui peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, et $a \neq 0$.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole. Cette parabole possède un axe de symétrie vertical et un sommet.
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $(\alpha; \beta)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole. On a $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
Allure de la parabole et sens de variation
L'allure de la parabole (vers le haut ou vers le bas) dépend du signe du coefficient $a$ :
- Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (elle a la forme d'un « U »). Le sommet est un minimum pour la fonction.
- Si $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas (elle a la forme d'un « ∩ »). Le sommet est un maximum pour la fonction.
Le sens de variation de la fonction est lié au sommet $S(\alpha; \beta)$ :
- Si $a > 0$: la fonction est décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha; +\infty[$.
- Si $a < 0$: la fonction est croissante sur $]-\infty; \alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha; +\infty[$.
Abscisse du sommet
f(x) = x^2g(x) = -x^2+3
Exemples de paraboles
Zéros de la fonction : les racines
Les zéros d'une fonction polynôme de degré 2 sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$. On les appelle aussi les racines de la fonction. Pour les trouver, on résout l'équation $ax^2 + bx + c = 0$. La nature et le nombre de ces racines dépendent du discriminant, noté $\Delta$ (delta).
Le discriminant
- Si $\Delta > 0$: L'équation a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.
- Si $\Delta = 0$: L'équation a une unique solution réelle (racine double) : $x_0 = -\frac{b}{2a}$. La parabole touche l'axe des abscisses en un seul point (son sommet).
- Si $\Delta < 0$: L'équation n'a pas de solution réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
Les racines, si elles existent, sont importantes car elles indiquent où la parabole croise l'axe des abscisses.
Signe d'un polynôme de degré 2
Le signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ dépend du signe de $a$ et des racines (si elles existent).
- Si $\Delta < 0$: $f(x)$ est toujours du même signe que $a$.
- Si $\Delta = 0$: $f(x)$ est du même signe que $a$ pour tout $x \neq x_0$. $f(x_0)=0$.
- Si $\Delta > 0$ (avec racines $x_1 < x_2$):
- Entre les racines ($x_1 < x < x_2$), $f(x)$ est du signe opposé à $a$.
- À l'extérieur des racines ($x < x_1$ ou $x > x_2$), $f(x)$ est du même signe que $a$.
Cette propriété est cruciale pour résoudre des inéquations du second degré.
A retenir :
Points clés à retenir :
- Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
- Sa représentation graphique est une parabole, avec un sommet $S(\alpha; \beta)$ où $\alpha = -b/(2a)$.
- Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (minimum au sommet) ; si $a < 0$, elle est ouverte vers le bas (maximum au sommet).
- Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de racines (zéros de la fonction).
- Si $\Delta > 0$, deux racines distinctes ; si $\Delta = 0$, une racine double ; si $\Delta < 0$, pas de racine réelle.
- Le signe de $f(x)$ dépend de $a$ et des racines : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.