Définitions
Définition
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente à la courbe de la fonction à ce point. Elle mesure la variation instantanée de la fonction en ce point.
Fonction dérivable
Une fonction est dérivable en un point si elle possède une dérivée en ce point, c'est-à-dire si la tangente à la courbe en ce point est définie.
Continuité
Une fonction est continue en un point si elle n'a pas de saut, ni de trou, ni de point de discontinuité en ce point.
Calcul de la dérivée
Pour calculer la dérivée d'une fonction, diverses méthodes et règles peuvent être appliquées. Parmi les plus couramment utilisées, on a la méthode du taux de variation, la dérivée des fonctions polynomiales, le calcul des dérivées à l'aide des règles de dérivation comme la somme, le produit, et le quotient, ainsi que la dérivée des fonctions composées.
La dérivée est souvent notée f'(x) ou dy/dx pour une fonction y = f(x).
Règles de dérivation
Il existe des règles fondamentales pour dériver des fonctions :
Définition
Dérivée de la somme
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : (f + g)' = f' + g'.
Dérivée du produit
La dérivée d'un produit est donnée par : (f * g)' = f'g + fg'.
Dérivée du quotient
La dérivée d'un quotient est donnée par : (f / g)' = (f'g - fg') / g².
Dérivée de la composition
La dérivée d'une composition de fonctions est donnée par la règle de la chaîne : (f o g)' = (f' o g) * g'.
Applications des dérivées
Les dérivées ont plusieurs applications pratiques, notamment dans l'étude des variations des fonctions (croissance, décroissance), la recherche des points critiques (maxima, minima, points d'inflexion) et la modélisation de phénomènes physiques tels que la vitesse et l'accélération.
Étude de fonctions
L'étude complète d'une fonction grâce à la dérivée peut inclure la détermination des intervalles de croissance et de décroissance, l'identification des extrema locaux (maximum et minimum) et la construction du tableau de variation.
Interprétation géométrique de la dérivée
Géométriquement, la dérivée indique la pente de la tangente à la courbe en un point donné. Cela permet de visualiser le comportement local de la fonction, comme si elle était approximativement linéaire près de ce point.
A retenir :
Il est essentiel de comprendre que la dérivée d'une fonction en un point donne la variation instantanée de la fonction à ce point. Elle est un outil fondamental en mathématiques pour analyser et décrire les comportements locaux des fonctions. Les règles de dérivation facilitent le calcul des dérivées et ont de nombreuses applications en physique et en ingéniérie, ainsi que dans l'étude des fonctions elles-mêmes pour déterminer la croissance, la décroissance et les points critiques.
